1. **Vérifier que le point E est tel que $\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{6} \overrightarrow{u}$**. - On rappelle que $\overrightarrow{BE}$ est le vecteur allant de B vers E. - Si $\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{6} \overrightarrow{u}$, cela signifie que E est situé sur la droite passant par B dans la direction opposée à $\overrightarrow{u}$, à une distance égale à $\frac{1}{6}$ de la norme de $\overrightarrow{u}$. 2. **Construire les points C et D tels que $\overrightarrow{AC} = 3 \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{AC}$**. - Pour $\overrightarrow{AC} = 3 \overrightarrow{AB}$, on multiplie le vecteur $\overrightarrow{AB}$ par 3, donc C est trois fois plus loin de A que B dans la direction de $\overrightarrow{AB}$. - Pour $\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{AC}$, D est dans la direction opposée à $\overrightarrow{AC}$ à la même distance. 3. **Construire le point C tel que $\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$**. - On prend les deux tiers du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir de A pour trouver C. 4. **Construire le point D tel que $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$**. - On prend la moitié du vecteur $\overrightarrow{AB}$ à partir de A pour trouver D. 5. **Milieux et vecteurs dans le parallélogramme ABCD**. 1. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. 2. Exprimer $\overrightarrow{JC}$ en fonction de $\overrightarrow{DC}$ : $$\overrightarrow{JC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DJ} = \overrightarrow{DC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}$$ Exprimer $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ : $$\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ 3. En déduire que $AICJ$ est un parallélogramme : - Les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{JC}$ sont égaux en norme et direction. - De même, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont parallèles et égaux. - Donc, $AICJ$ est un parallélogramme par définition (côtés opposés parallèles et égaux).