1. **Énoncé du problème :** Calculer la norme du vecteur $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}$ où $M$ est un point quelconque, et vérifier l'égalité $||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}||$. 2. **Données :** Points $A(-3,-1)$, $B(1,1)$, $C(-5,3)$. 3. **Définition des vecteurs :** Le vecteur $\overrightarrow{XY} = Y - X$ en coordonnées. 4. **Calcul des vecteurs :** - $\overrightarrow{MA} = A - M$ - $\overrightarrow{MB} = B - M$ - $\overrightarrow{MC} = C - M$ 5. **Expression de $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}$ :** $$3(A - M) - (B - M) + 2(C - M) = 3A - 3M - B + M + 2C - 2M = (3A - B + 2C) - (3M - M + 2M) = (3A - B + 2C) - 4M$$ 6. **Simplification :** $$3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = (3A - B + 2C) - 4M$$ 7. **Calcul de $3A - B + 2C$ :** - $3A = 3 \times (-3, -1) = (-9, -3)$ - $-B = -(1,1) = (-1, -1)$ - $2C = 2 \times (-5, 3) = (-10, 6)$ Addition : $$(-9, -3) + (-1, -1) + (-10, 6) = (-9 -1 -10, -3 -1 +6) = (-20, 2)$$ 8. **Donc :** $$3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = (-20, 2) - 4M$$ 9. **Norme donnée :** $$||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|| = 2$$ Cela signifie que pour un certain point $M$, la norme du vecteur $(-20, 2) - 4M$ est égale à 2. 10. **Deuxième égalité à vérifier :** $$||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}||$$ Calculons chaque membre : - $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = 3(A - M) - (B - M) = 3A - 3M - B + M = (3A - B) - 2M$ - $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} = (A - M) - (B - M) = A - M - B + M = A - B$ 11. **Calcul de $3A - B$ :** - $3A = (-9, -3)$ - $-B = (-1, -1)$ Donc : $$3A - B = (-9 -1, -3 -1) = (-10, -4)$$ 12. **Normes :** - $$||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||(-10, -4) - 2M||$$ - $$||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||A - B|| = ||(-3, -1) - (1,1)|| = ||(-4, -2)|| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ 13. **Conclusion :** L'égalité $$||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}||$$ implique que $$||(-10, -4) - 2M|| = 2\sqrt{5}$$ Cela dépend du point $M$ choisi. --- **Réponse finale :** - Le vecteur $3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}$ s'exprime comme $$(-20, 2) - 4M$$ - Sa norme est donnée égale à 2 pour un certain $M$. - L'égalité $$||3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}|| = ||\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}||$$ se traduit par $$||(-10, -4) - 2M|| = 2\sqrt{5}$$. Ces expressions permettent d'analyser les positions possibles de $M$.