1. **Énoncé du problème** : On considère un losange ABCD de centre O, avec F symétrique de C par rapport à B. On doit vérifier la véracité de plusieurs affirmations géométriques liées aux symétries, translations et propriétés vectorielles. 2. **Affirmations 1 à 3 (symétries et invariance)** : - $S_0([DB]) = [DB]$ : Vrai, car $O$ est centre du losange, la symétrie centrale $S_0$ laisse la diagonale $DB$ invariante. - $S_0(AD) = (AD)$ : Vrai, la symétrie centrale conserve les droites passant par $O$, donc $(AD)$ est invariant. - L’image de $ABCD$ par $S_0$ est $ABCD$ : Vrai, car $S_0$ est la symétrie centrale de centre $O$, centre du losange, donc $ABCD$ est invariant. 3. **Affirmations 4 à 6 (translations et symétries)** : - $t_{A o e}(C) = A$ : Faux, translation de vecteur $ar{e}$ non précisé, mais $t_A$ appliquée à $C$ ne donne pas nécessairement $A$. - $t_{O B F}(A) = F$ : Faux, la notation semble incorrecte ou ambiguë. - $t_{C B F}(AB) = (AB)$ : Faux, translation ne conserve pas nécessairement la droite $(AB)$ sauf si vecteur colinéaire. 4. **Affirmations 7 à 10 (symétries et invariance)** : - $S_{AC}(B) = D$ : Vrai, symétrie orthogonale d’axe $(AC)$ échange $B$ et $D$ dans un losange. - $S_{AC}(DC) = (BF)$ : Vrai, image du segment $DC$ par symétrie d’axe $(AC)$ est $(BF)$. - $S_{BD}(BAD) = BAD$ : Vrai, symétrie d’axe $(BD)$ conserve le triangle $BAD$. - $ABCD$ est globalement invariant par $S_{BC}$ : Vrai, symétrie d’axe $(BC)$ conserve le losange. 5. **Exercice de fixation 1** : - Soit $D$ l’image de $B$ par la translation de vecteur $ar{AC}$. - Alors $ar{BD} = ar{AC}$ par définition. - On veut montrer $ar{DC} = ar{BA}$. - Or $ar{DC} = ar{DB} + ar{BC} = -ar{BD} + ar{BC} = -ar{AC} + ar{BC}$. - Comme $ar{BA} = -ar{AB} = -(ar{AC} + ar{CB}) = -ar{AC} + ar{BC}$. - Donc $ar{DC} = ar{BA}$. 6. **Exercice de fixation 2** : - $S_A(B) = E$ et $S_A(C) = F$ sont symétries centrales de centre $A$. - Donc $ar{AE} = -ar{AB}$ et $ar{AF} = -ar{AC}$. - Alors $ar{EF} = ar{AF} - ar{AE} = -ar{AC} - (-ar{AB}) = ar{AB} - ar{AC} = ar{CB}$. 7. **Exercice de fixation 3** : - $E$ et $F$ sont images de $C$ et $D$ par symétrie orthogonale d’axe $(L)$. - Les droites $(CF)$ et $(DE)$ se coupent en $G$. - Par propriété de symétrie orthogonale, $G$ appartient à $(L)$. 8. **Vecteurs somme** : - $ar{BE} + ar{CA} + ar{DB} + ar{EC} + ar{AD} = ar{0}$. - En développant et regroupant, on montre que la somme des vecteurs autour d’un polygone fermé est nulle. 9. **Exercice 4 simplification vecteurs** : - $ar{a} = ar{AB} - ar{AC} = ar{CB}$. - $ar{b} = ar{MA} - ar{MB} - ar{AB} = (ar{MA} - ar{MB}) - ar{AB} = ar{BA} - ar{AB} = ar{0}$. - $ar{c} = ar{AC} - (ar{BC} - ar{BA}) = ar{AC} - ar{BC} + ar{BA} = ar{BA}$. - $ar{d} = ar{MA} - (ar{MB} + ar{BM}) = ar{MA} - ar{MB} - ar{BM} = ar{MA} - ar{MB} - (-ar{MB}) = ar{MA}$. 10. **Exercice 5 parallélogramme** : - $ar{OA} + ar{OC} = ar{OB} + ar{OD}$. - En posant $ar{AB} = ar{OB} - ar{OA}$ et $ar{DC} = ar{OC} - ar{OD}$, on montre que $ar{AB} = ar{DC}$. - Donc $ABCD$ est un parallélogramme. 11. **Exercice 6 milieux et vecteurs** : - $E$ milieu de $[BC]$, $F$ milieu de $[DC]$. - Montrer $ar{AC} + ar{BD} = 2 ar{BC}$ et $ar{AE} + ar{AF} = rac{2}{3} ar{AC}$. - En exprimant les vecteurs en fonction des points, on vérifie les égalités. 12. **Exercice 7 norme vecteurs** : - $ orm{ar{u}} \\leq 3$, $ orm{ar{v}} \\leq 2$. - Montrer $ orm{2ar{u} - 3ar{v}} \\leq 12$. - Par inégalité triangulaire et propriétés des normes : $$ orm{2ar{u} - 3ar{v}} \\leq 2 orm{ar{u}} + 3 orm{ar{v}} \\leq 2 imes 3 + 3 imes 2 = 12.$$