1. **Énoncé du problème:** On considère les vecteurs $\overrightarrow{u} = (9, -10)$ et $\overrightarrow{v} = (-9, 10)$. Nous devons compléter plusieurs phrases concernant la relation entre ces deux vecteurs : même norme, même direction, même sens, sens opposés, opposés, égaux. 2. **Calcul des normes:** La norme de $\overrightarrow{u}$ est $$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{9^2 + (-10)^2} = \sqrt{81 + 100} = \sqrt{181}.$$ De même, la norme de $\overrightarrow{v}$ est $$\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{(-9)^2 + 10^2} = \sqrt{81 + 100} = \sqrt{181}.$$ Les vecteurs ont donc **la même norme**. 3. **Vérification de la direction:** Deux vecteurs ont la même direction s'il existe un scalaire $k$ tel que $\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u}$. Calculons $k$ pour les composantes : $$k = \frac{-9}{9} = -1$$ et $$k = \frac{10}{-10} = -1.$$ Les ratios sont égaux et valent $-1$, donc $\overrightarrow{v} = -1 \cdot \overrightarrow{u}$. Cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont la **même direction** car ils sont colinéaires. 4. **Sens et sens opposés:** Le sens d'un vecteur est donné par la direction et le signe du scalaire liant deux vecteurs colinéaires. Ici, $k = -1 < 0$ signifie que $\overrightarrow{v}$ est dans la direction opposée de $\overrightarrow{u}$. Donc ils n'ont **pas le même sens** mais ont un **sens opposé**. 5. **Vecteurs opposés:** Deux vecteurs sont opposés si $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{u}$. Or, ici $\overrightarrow{v} = -1 \cdot \overrightarrow{u}$, donc ils sont effectivement **opposés**. 6. **Vecteurs égaux:** Les vecteurs sont égaux si toutes leurs composantes sont égales. Ici, $(9, -10) \neq (-9, 10)$ donc ils ne sont **pas égaux**. **Résumé des phrases complétées :** - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont **la même norme**. - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont **la même direction**. - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ n'ont **pas le même sens**. - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont un **sens opposé**. - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont **opposés**. - Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont **pas égaux**.