1. Énoncé du problème : Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont colinéaires. 2. Données : $DE = \frac{3}{4} AB$ et $AF = -\frac{4}{3} AD$. 3. Rappel : Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un scalaire $k$ tel que $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{BF}$. 4. Exprimons $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BF}$ en fonction des vecteurs de base. - $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$. - Or, $\overrightarrow{DE} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$. - Donc, $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$. 5. De même, $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}$. - $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{AF} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AD}$. - Donc, $\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3} \overrightarrow{AD}$. 6. Posons $\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{BF}$, soit: $$\overrightarrow{AD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = k \left(-\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3} \overrightarrow{AD}\right)$$ 7. Regroupons les termes selon $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{AD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} = -k \overrightarrow{AB} - \frac{4k}{3} \overrightarrow{AD}$$ 8. Égalons les coefficients des vecteurs: - Pour $\overrightarrow{AB}$: $\frac{3}{4} = -k$ donc $k = -\frac{3}{4}$. - Pour $\overrightarrow{AD}$: $1 = -\frac{4k}{3}$. 9. Vérifions la cohérence: $$1 = -\frac{4}{3} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = 1$$ C'est vrai, donc les deux vecteurs sont colinéaires avec $k = -\frac{3}{4}$. 10. Conclusion : Les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont colinéaires.