1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs exercices sur les vecteurs dans un plan, impliquant des points, des milieux, des relations vectorielles et des propriétés géométriques. --- ### Exercice 2 2.1. **Faire une figure** : - Triangle ABC quelconque. - Points I, J, K définis par $I = B + \frac{2}{3} BC$, $J = C + \frac{1}{3} CA$, $K = A + \frac{2}{5} AB$. 2.2. **Montrer que $JI = -\frac{1}{6}(3BC + 2AC)$** en utilisant la relation de Chasles : - $JI = I - J$ - $I = B + \frac{2}{3} BC = B + \frac{2}{3}(C - B) = B + \frac{2}{3}C - \frac{2}{3}B = \frac{1}{3}B + \frac{2}{3}C$ - $J = C + \frac{1}{3} CA = C + \frac{1}{3}(A - C) = C + \frac{1}{3}A - \frac{1}{3}C = \frac{2}{3}C + \frac{1}{3}A$ - Donc, $$JI = I - J = \left(\frac{1}{3}B + \frac{2}{3}C\right) - \left(\frac{2}{3}C + \frac{1}{3}A\right) = \frac{1}{3}B - \frac{1}{3}A = \frac{1}{3}(B - A)$$ - Or, $$BC = C - B, \quad AC = C - A$$ - Exprimer $JI$ en fonction de $BC$ et $AC$: $$JI = -\frac{1}{6}(3BC + 2AC)$$ - Vérification: $$3BC + 2AC = 3(C - B) + 2(C - A) = 3C - 3B + 2C - 2A = 5C - 3B - 2A$$ - Donc, $$-\frac{1}{6}(3BC + 2AC) = -\frac{1}{6}(5C - 3B - 2A) = -\frac{5}{6}C + \frac{1}{2}B + \frac{1}{3}A$$ - Cette expression ne correspond pas directement à $JI$ calculé, donc il faut revoir la définition des points ou la relation. 2.3. **Montrer que $IK = -\frac{3}{10}(3BC + 2AC)$** : - $I = B + \frac{2}{3} BC$ - $K = A + \frac{2}{5} AB = A + \frac{2}{5}(B - A) = A + \frac{2}{5}B - \frac{2}{5}A = \frac{3}{5}A + \frac{2}{5}B$ - Donc, $$IK = K - I = \left(\frac{3}{5}A + \frac{2}{5}B\right) - \left(B + \frac{2}{3} BC\right)$$ - Simplifier et exprimer en fonction de $BC$ et $AC$. 2.4. **En déduire que I, J et K sont alignés** : - Montrer que $JI$ et $IK$ sont colinéaires, c'est-à-dire $JI = \lambda IK$ pour un certain $\lambda$. --- ### Exercice 3 3.1. **Carré ABCD de côté $a$ avec points milieux I, J, L, M, N** - I milieu de AB, J milieu de BC, L milieu de DA - M milieu de AI, N milieu de AL 3.2. **Placer K et F définis par** - $AK = \frac{1}{2} AB + BC$ - $AF = \frac{3}{2} AC + BA$ 3.3. **Démontrer que $KF = \frac{1}{2} BC$** - Calculer $KF = AF - AK$ - Simplifier en fonction des vecteurs de base 3.4. **Que peut-on dire des droites (KF) et (BC) ?** - Puisque $KF$ est un multiple de $BC$, elles sont parallèles. --- ### Exercice 4 4.1. **Carré de côté 6 cm, points I, E, F définis** - I milieu de BC - $AE = \frac{1}{3} AB$, $AF = \frac{1}{4} AD$ 4.2. a) Montrer que $BI = \frac{1}{2} AD$ - Utiliser la relation vectorielle et propriétés des milieux 4.2. b) Montrer que $FE$ est combinaison linéaire de $AB$ et $AD$ 4.2. c) Montrer que $EI = \frac{2}{3} AB + \frac{1}{2} AD$ 4.3. a) Montrer que $EI = -2 EF$ 4.3. b) Que peut-on dire des vecteurs $EI$ et $EF$ ? - Ils sont colinéaires et de sens opposé 4.3. c) Que peut-on dire des points I, E et F ? - Ils sont alignés --- **Résumé :** - Utilisation de la relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ - Milieux divisent les segments en deux parties égales - Vecteurs colinéaires indiquent alignement