1. **Énoncé du problème :** Nous avons un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté 1. Le point $M$ est quelconque. On considère le vecteur $$\overrightarrow{V} = 2\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.$$ 2. **Objectif :** 1° Montrer que $\overrightarrow{V}$ est un vecteur fixe (indépendant de $M$) et le déterminer. 3. **Rappel des vecteurs :** Soit $O$ l'origine du repère. Les coordonnées des points du carré de côté 1 centré en $O$ sont : $$A\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), C\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right), D\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right).$$ 4. **Exprimer les vecteurs en fonction de $\overrightarrow{OM}$ :** On a $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}$, idem pour $MB, MC, MD$. Donc $$\overrightarrow{V} = 2(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) - 4(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OM}).$$ 5. **Développer :** $$\overrightarrow{V} = 2\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OM} - 4\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OM}.$$ 6. **Regrouper les termes en $\overrightarrow{OM}$ :** $$\overrightarrow{V} = (2\overrightarrow{OA} - 4\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) + (-2 + 4 - 1 - 1)\overrightarrow{OM}.$$ Le coefficient devant $\overrightarrow{OM}$ est $0$, donc $$\overrightarrow{V} = 2\overrightarrow{OA} - 4\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.$$ $\overrightarrow{V}$ est donc indépendant de $M$. 7. **Calculer $\overrightarrow{V}$ en coordonnées :** $$\overrightarrow{OA} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \quad \overrightarrow{OB} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),$$ $$\overrightarrow{OC} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right), \quad \overrightarrow{OD} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right).$$ Donc $$\overrightarrow{V} = 2\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) - 4\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right).$$ Calculons chaque composante : - Composante $x$ : $$2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) - 4 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1 - 2 + 0 = -3.$$ - Composante $y$ : $$2 \times \frac{1}{2} - 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 + 2 + 0 = 3.$$ Donc $$\overrightarrow{V} = (-3, 3).$$ 8. **Conclusion 1° :** $\overrightarrow{V}$ est un vecteur fixe égal à $(-3, 3)$. --- **Note :** Les questions 2° et 3° ne sont pas traitées car la consigne impose de ne résoudre que la première question.