1. **Énoncé du problème :** Soit ABCD un parallélogramme et E un point n'appartenant pas à la droite (BC). On considère la parallèle à la droite (BE) passant par A et la parallèle à la droite (CE) passant par D. Ces deux parallèles se coupent en un point F. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BA}$. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Dans un parallélogramme ABCD, on a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. - Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires. - Le point F est l'intersection des droites parallèles à (BE) passant par A et à (CE) passant par D. 3. **Définition des vecteurs :** - $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}$ - $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{C}$ 4. **Vecteurs directeurs des droites parallèles :** - La droite passant par A parallèle à (BE) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{BE}$. - La droite passant par D parallèle à (CE) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{CE}$. 5. **Coordonnées du point F :** Le point F appartient à la droite passant par A avec vecteur directeur $\overrightarrow{BE}$, donc $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{BE}$$ Le point F appartient aussi à la droite passant par D avec vecteur directeur $\overrightarrow{CE}$, donc $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{D} + \mu \overrightarrow{CE}$$ 6. **Égalisation des expressions de $\overrightarrow{F}$ :** $$\overrightarrow{A} + \lambda (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{D} + \mu (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{C})$$ 7. **Réarrangement :** $$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = \mu (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{C}) - \lambda (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{B})$$ 8. **Utilisation des propriétés du parallélogramme :** On sait que $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = -\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{BC}$ (car $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$), donc $$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = -\overrightarrow{BC}$$ 9. **Substitution :** $$-\overrightarrow{BC} = \mu (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{C}) - \lambda (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{B})$$ 10. **Réécriture :** $$-\overrightarrow{BC} = (\mu - \lambda) \overrightarrow{E} - \mu \overrightarrow{C} + \lambda \overrightarrow{B}$$ 11. **Regroupement :** $$-\overrightarrow{BC} + \mu \overrightarrow{C} - \lambda \overrightarrow{B} = (\mu - \lambda) \overrightarrow{E}$$ 12. **Comme E n'appartient pas à (BC), le vecteur $\overrightarrow{E}$ est linéairement indépendant de $\overrightarrow{B}$ et $\overrightarrow{C}$, donc pour que l'égalité soit vraie, on doit avoir :** $$\mu - \lambda = 0 \Rightarrow \mu = \lambda$$ 13. **Substitution dans l'équation :** $$-\overrightarrow{BC} + \mu \overrightarrow{C} - \mu \overrightarrow{B} = 0$$ $$\Rightarrow -\overrightarrow{BC} + \mu (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = 0$$ 14. **Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}$, donc :** $$-\overrightarrow{BC} + \mu \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow (\mu - 1) \overrightarrow{BC} = 0$$ 15. **Comme $\overrightarrow{BC} \neq 0$, on a :** $$\mu - 1 = 0 \Rightarrow \mu = 1$$ 16. **Donc $\lambda = \mu = 1$, et on peut calculer $\overrightarrow{F}$ :** $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + 1 \times (\overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}$$ 17. **Calcul du vecteur $\overrightarrow{EF}$ :** $$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{E} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B}) - \overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{BA}$$ 18. **Conclusion :** On a bien montré que $$\boxed{\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BA}}$$ Ce qui conclut la démonstration.