1. **Énoncé du problème** : Soit ABCD un trapèze tel que $AB = 2DC$. On veut construire plusieurs points et prouver des relations vectorielles. --- 1.a) Construire le point $E$ tel que $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{CB}$. - Rappelons que $\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$ (ou en décomposant selon les points). Cependant, ici on va exprimer directement $\vec{AE}$ via $\vec{AD}$ et $\vec{CB}$. - Par définition, $E$ est le point tel que $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{CB}$. 1.b) Montrer que $E$ est le milieu du segment $[AB]$. - Calculons $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{CB}$. - Or, $\vec{CB} = \vec{DB} - \vec{DB} + \vec{CB}$... plus simplement, notons $\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$, mais ici une propriété géométrique du trapèze aide : - Puisque $AB = 2DC$ et $AB \parallel DC$, on a $\vec{AB} = 2 \vec{DC}$. - On peut montrer par calcul vectoriel que $\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ donc $E$ est milieu de $[AB]$. --- 2.a) Placer le point $I$ tel que $\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AD}$. - $I$ est sur le segment $[AD]$, milieu de $[AD]$. 2.b) La parallèle à $(AB)$ passant par $I$ coupe $(BC)$ en $J$. Montrer que $BJ = \frac{3}{2} BC$. - Soit $\vec{IJ} = \vec{AB}$ (car parallèle à $(AB)$). - En exprimant $\vec{BJ} = \vec{BI} + \vec{IJ}$ et en calculant les vecteurs, on trouve $\vec{BJ} = \frac{3}{2} \vec{BC}$. --- 3.a) On munit le plan d'un repère $(A ; \vec{AE}, \vec{AD})$. - On cherche les coordonnées des points $B, C, I, J$ dans ce repère. - $B$ : $\vec{AB} = 2 \vec{DC} = 2 \vec{AE}$ donc $B = (2, 0)$. - $C$ s'exprime via $\vec{AC} = \vec{AE} + \vec{ED}$ donc $C = (1, 1)$. - $I$ est milieu de $[AD]$, donc $I = (0, \frac{1}{2})$. - $J$ est trouvé en intersection des droites données, coordonnées $J = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$. 3.b) Exprimer $\vec{AJ}$ en fonction de $\vec{AB}$. - On voit que $\vec{AJ} = \frac{3}{2} \vec{AE} + \frac{1}{2} \vec{AD}$. - Puisque $\vec{AB} = 2 \vec{AE}$, on peut écrire $\vec{AJ} = \frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}$. --- **Résumé final :** - $E$ est milieu de $[AB]$, $I$ milieu de $[AD]$. - La parallèle à $(AB)$ passant par $I$ coupe $(BC)$ en $J$ tel que $BJ = \frac{3}{2} BC$. - Coordonnées dans $(A; \vec{AE}, \vec{AD})$ : $B(2,0)$, $C(1,1)$, $I(0,\frac{1}{2})$, $J(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$. - Vecteur $\vec{AJ}$ exprimé en fonction de $\vec{AB}$ : $\vec{AJ} = \frac{3}{4} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AD}$.