1. **Problème** : Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ avec $AB=3$, $AC=8$ et $\widehat{BAC}=65^\circ$. 2. Le produit scalaire se calcule par la formule : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$$ On remplace les valeurs : $$3 \times 8 \times \cos 65^\circ = 24 \times \cos 65^\circ$$ 3. Calcul approché : $\cos 65^\circ \approx 0.4226$, donc $$24 \times 0.4226 = 10.1424$$ 4. **Niveau Satisfaisant** : Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans chaque cas. a) $\|\vec{u}\|=5$, $\|\vec{v}\|=6$, $\cos (\vec{u};\vec{v})=\cos 50^\circ \approx 0.6428$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 6 \times 0.6428 = 30 \times 0.6428 = 19.284$$ b) $\|\vec{u}\|=3\sqrt{5}$, $\vec{v} = \vec{u}$ donc $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 =45$$ c) $\vec{u} = \begin{pmatrix}7\\-8\end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$ Produit scalaire : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 7 \times 2 + (-8) \times 6 = 14 - 48 = -34$$ d) $\|\vec{u}\|=8$, $\vec{v} = -2 \vec{u}$ $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (-2\vec{u}) = -2 (\vec{u} \cdot \vec{u}) = -2 \times \|\vec{u}\|^2 = -2 \times 64 = -128$$ 5. **Niveau Expert** : On a $AB=7.32$ m, les points $A, B, D$ alignés, $\triangle TAD$ rectangle en $D$, $TD=18$ m, $DB = 9$ m. Comme $DB$ est un vecteur de longueur 9, et $\overrightarrow{TD} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ (orthogonalité). Montrer que : $$\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} = TD^2 + DA \times DB$$ Preuve : $\overrightarrow{TA} = \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DA}$ $\overrightarrow{TB} = \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DB}$ Ainsi, $$\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} = (\overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DA}) \cdot (\overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DB})$$ $$ = \overrightarrow{TD} \cdot \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{TD} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB}$$ On connaît $\overrightarrow{TD} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ et par symétrie et orthogonalité, $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{TD} = 0$ Donc, $$\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} = TD^2 + DA \cdot DB$$ 6. Calcul : $TD=18$, $DB=9$, $DA = AB + BD$ or $A, B, D$ alignés et $AB=7.32$, $DB=9$ Donc $DA = AB + BD = 7.32 + 9 = 16.32$ Alors $$\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} = 18^2 + 16.32 \times 9 = 324 + 146.88 = 470.88$$ 7. Angle $\widehat{ATB}$ $\cos(\widehat{ATB}) = \frac{\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB}}{\|\overrightarrow{TA}\| \times \|\overrightarrow{TB}\|}$ On calcule $\|\overrightarrow{TA}\|$ et $\|\overrightarrow{TB}\|$ : $$\|\overrightarrow{TA}\|^2 = (\overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DA})^2 = TD^2 + DA^2 \quad (\text{car orthogonaux})$$ $$\|\overrightarrow{TA}\| = \sqrt{18^2 + 16.32^2} = \sqrt{324 + 266.6} = \sqrt{590.6} \approx 24.3$$ De même, $$\|\overrightarrow{TB}\|^2 = (\overrightarrow{TD} + \overrightarrow{DB})^2 = TD^2 + DB^2 = 18^2 + 9^2 = 324 + 81 = 405$$ $$\|\overrightarrow{TB}\| = \sqrt{405} \approx 20.1$$ Donc $$\cos(\widehat{ATB}) = \frac{470.88}{24.3 \times 20.1} = \frac{470.88}{488.43} \approx 0.9635$$ L'angle est $$\widehat{ATB} = \arccos 0.9635 \approx 15.3^\circ$$ **Réponse finale:** - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 10.14$ - Cas Satisfaisant : a) $19.28$ b) $45$ c) $-34$ d) $-128$ - Niveau Expert : $$\overrightarrow{TA} \cdot \overrightarrow{TB} = 470.88$$ $$\widehat{ATB} \approx 15.3^\circ$$