1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC avec H le pied de la hauteur issue de A. On connaît : $AB=6$, $BH=4$, $HC=5$. Calculer les produits scalaires demandés. 2. **Rappel de la formule du produit scalaire :** Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, le produit scalaire est donné par $$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$ où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. 3. **Données et observations :** - $BC = BH + HC = 4 + 5 = 9$ - $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$, donc $\vec{AH}$ est perpendiculaire à $\vec{BC}$. - Par conséquent, $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$. 4. **Calculs :** **1) Calcul de $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ :** - $\vec{BA} = -\vec{AB}$ donc $\|\vec{BA}\| = 6$ - $\|\vec{BC}\| = 9$ - L'angle entre $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$ est $180^\circ - \angle ABC$ - Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $BHC$ : $$BH^2 + HC^2 = BC^2 \Rightarrow 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \neq 9^2=81$$ Donc $BHC$ n'est pas rectangle, mais $AH$ est hauteur, donc $AH \perp BC$. - Pour trouver $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$, on peut utiliser la relation : $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \|\vec{BA}\| \|\vec{BC}\| \cos(\theta)$$ - Calculons $\cos(\theta)$ via la projection de $\vec{BA}$ sur $\vec{BC}$. - On sait que $BH = 4$ est la projection de $\vec{BA}$ sur $\vec{BC}$ (car $H$ est pied de la hauteur), donc $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \|\vec{BA}\| \times BH = 6 \times 4 = 24$$ **2) Calcul de $\vec{AB} \cdot \vec{AH}$ :** - $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont perpendiculaires car $AH$ est hauteur issue de $A$ sur $BC$. - Donc $$\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 0$$ **3) Calcul de $\vec{AH} \cdot \vec{AC}$ :** - $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ - $\vec{AH}$ est perpendiculaire à $\vec{BC}$ donc $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$ - Donc $$\vec{AH} \cdot \vec{AC} = \vec{AH} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AH} \cdot \vec{AB} + \vec{AH} \cdot \vec{BC} = \vec{AH} \cdot \vec{AB} + 0 = \vec{AH} \cdot \vec{AB}$$ - Comme $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 0$ (vu au point 2), on a $$\vec{AH} \cdot \vec{AC} = 0$$ **4) Calcul de $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ :** - $\vec{CA} = -\vec{AC}$ et $\vec{CB} = -\vec{BC}$ - Donc $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-\vec{AC}) \cdot (-\vec{BC}) = \vec{AC} \cdot \vec{BC}$$ - $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ donc $$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{BC}$$ - $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 24$ (vu au point 1) - $\vec{BC} \cdot \vec{BC} = \|\vec{BC}\|^2 = 9^2 = 81$ - Donc $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 24 + 81 = 105$$ **5) Calcul de $\vec{HB} \cdot \vec{CB}$ :** - $\vec{HB} = -\vec{BH}$ - $\vec{CB} = -\vec{BC}$ - Donc $$\vec{HB} \cdot \vec{CB} = (-\vec{BH}) \cdot (-\vec{BC}) = \vec{BH} \cdot \vec{BC}$$ - $\vec{BH}$ est colinéaire à $\vec{BC}$, donc $$\vec{BH} \cdot \vec{BC} = \|\vec{BH}\| \times \|\vec{BC}\| = 4 \times 9 = 36$$ **6) Calcul de $\vec{AH} \cdot \vec{BC}$ :** - $\vec{AH}$ est perpendiculaire à $\vec{BC}$ donc $$\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$$ **Réponses finales :** 1) $24$ 2) $0$ 3) $0$ 4) $105$ 5) $36$ 6) $0$