1. **Énoncé du problème :** Soit ABC un triangle rectangle non isocèle avec l'angle droit en A, E et F les milieux respectifs de [AB] et [AC], H le projeté orthogonal de A sur (BC), et BC = 8. 2. **Question 1a : Montrer que** $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$. - Rappel : Le projeté orthogonal H de A sur (BC) signifie que $\overrightarrow{AH}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{BC}$. - On a $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH}$. - Donc, $$\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH}) \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HC}.$$ - Comme $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BC}$, et $\overrightarrow{HC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$, on a $$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HC} = 0.$$ - Donc, $$\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}.$$ 3. **Question 1b : En déduire que** $\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$. - On sait que $\overrightarrow{HA} = -\overrightarrow{AH}$ donc $\overrightarrow{HA}^2 = \overrightarrow{AH}^2$. - Par la relation précédente, $$\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}.$$ - Or, dans le triangle rectangle en A, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{AH}^2$ (car projection orthogonale et propriétés du triangle). - Donc, $$\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AH}^2 - \overrightarrow{AH}^2 = 0.$$ 4. **Question 1c : Montrer que** $\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = 0$. - E et F sont milieux de [AB] et [AC], donc $$\overrightarrow{HE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{HA}, \quad \overrightarrow{HF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{HA}.$$ - Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HA}) \cdot (\overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HA}) = \frac{1}{4} (\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HA}^2).$$ - Or, $\overrightarrow{HA}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BC}$ donc orthogonal à $\overrightarrow{HB}$ et $\overrightarrow{HC}$, donc $$\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HA} = 0, \quad \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HC} = 0.$$ - D'après 1b, $\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$ donc $$\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = \frac{1}{4} (0) = 0.$$ 5. **Conclusion :** Les relations demandées sont démontrées.