1. Énoncé du problème : Montrer que le point B est le milieu du segment [IJ] où \(\overrightarrow{AI} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CJ} = -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). 2. Rappel de la définition du milieu : Un point B est milieu du segment [IJ] si et seulement si \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BJ}\) ou encore \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{0}\). 3. Exprimer \(\overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction des vecteurs de base. - \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AI}\) - \(\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{CJ} - \overrightarrow{CB}\) 4. Calcul de \(\overrightarrow{IB}\) : \[\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB} - \left( \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{CB} \right) = \overrightarrow{AB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{CB}\] 5. Calcul de \(\overrightarrow{BJ}\) : \[\overrightarrow{BJ} = \left(-2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) - \overrightarrow{CB} = -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}\] 6. Addition de \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ}\) : \[\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \left( \overrightarrow{AB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{CB} \right) + \left( -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} \right)\] \[= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CB}\] \[= \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{9}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{5}{2} \overrightarrow{CB}\] 7. Remarquons que \(\overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{BC} = - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\), donc : \[\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{9}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{5}{2} (- \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} - \frac{9}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{5}{2} \overrightarrow{AB}\] \[= \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{2} \right) \overrightarrow{AB} + \left( -\frac{9}{2} + \frac{5}{2} \right) \overrightarrow{AC} = -1 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}\] 8. Cette somme n'est pas nulle, ce qui semble contradictoire. Reprenons en exprimant \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{CJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) pour vérifier. 9. Sachant que \(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = - \overrightarrow{BC} = - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\), on a : \[\overrightarrow{AI} = \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} (- \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = \frac{5}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}\] 10. De même, \(\overrightarrow{CJ} = -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). 11. Calculons \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} - \left( \overrightarrow{AC} + \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \right) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2} \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). 12. Calculons \(\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{CJ} - \overrightarrow{CB} = \left( -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) - (- \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = -2 \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). 13. On constate que \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BJ}\), donc B est bien le milieu de [IJ]. **Réponse finale :** Le point B est le milieu du segment [IJ].