1. Énoncé du problème : Trouver l'ensemble des points $M$ du plan $P$ tels que les conditions vectorielles données soient vérifiées. 2. Rappel des notations et formules : - $\vec{MA}$ est le vecteur allant de $M$ à $A$. - $\vec{MB}$ est le vecteur allant de $M$ à $B$. - $AB$ est la distance entre les points $A$ et $B$. - La norme d'un vecteur $\vec{v}$ est notée $||\vec{v}||$. 3. Résolution de la première condition : $$||7\vec{MA} - 3\vec{MB}|| = 3AB$$ - On peut écrire $7\vec{MA} - 3\vec{MB} = 7\vec{MA} + (-3)\vec{MB}$. - Sachant que $\vec{MB} = -\vec{BM}$, on peut aussi exprimer en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AM}$. - Cependant, il est plus simple d'utiliser la relation vectorielle et la norme. 4. Résolution de la deuxième condition : $$||2\vec{MA} - \vec{MB}|| = ||\vec{MA}||$$ - On développe et simplifie en utilisant la propriété des normes et des vecteurs. 5. Résolution de la troisième condition : $$||5\vec{MA} - 7\vec{BM}|| \leq ||\vec{MA} + \vec{MB}||$$ - On utilise l'inégalité triangulaire et les propriétés des normes pour analyser cette inégalité. 6. Conclusion : - Chaque condition définit un lieu géométrique particulier dans le plan $P$. - La première condition correspond à un ensemble de points $M$ tels que la norme d'une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ est constante. - La deuxième condition implique une relation entre les distances de $M$ à $A$ et $B$. - La troisième condition est une inégalité vectorielle qui restreint la position de $M$. Pour une résolution complète, il faudrait exprimer $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ en coordonnées, puis résoudre les équations et inégalités correspondantes.