1. **Énoncé du problème** : Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles puis déterminer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. 2. **Calcul des vecteurs**: Calculons les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ à partir des coordonnées des points donnés. $$\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, -1 - (-2)) = (-3, 1)$$ $$\overrightarrow{CD} = D - C = (-2 - 4, 3 - 1) = (-6, 2)$$ 3. **Vérification du parallélisme**: Deux vecteurs sont parallèles si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Vérifions si $\overrightarrow{CD} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ pour un certain $k$. Observons: $$-6 = k \cdot (-3) \Rightarrow k = 2$$ $$2 = k \cdot 1 = 2 \Rightarrow \text{valide}$$ Donc $\overrightarrow{CD} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. 4. **Détermination des composantes de $\overrightarrow{AI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$**: D'abord, calculons $\overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 3, 1 - (-2)) = (1, 3)$$ Supposons que le vecteur $\overrightarrow{AI} = (x, y)$ s'exprime dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ comme: $$\overrightarrow{AI} = \lambda \cdot \overrightarrow{AB} + \mu \cdot \overrightarrow{AC}$$ c'est-à-dire $$(x, y) = \lambda (-3, 1) + \mu (1, 3) = (-3 \lambda + \mu, \lambda + 3 \mu)$$ Les composantes $(\lambda, \mu)$ sont les solutions du système: $$\begin{cases} x = -3 \lambda + \mu \\ y = \lambda + 3 \mu \end{cases}$$ La détermination de $(\lambda, \mu)$ dépend du vecteur $\overrightarrow{AI}$ donné ou recherché. Si $I$ n'est pas spécifié, les composantes sont exprimées par cette relation linéaire. **Résumé final:** - Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles car $\overrightarrow{CD} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$. - Les composantes de $\overrightarrow{AI}$ dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ satisfont $$\overrightarrow{AI} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}$$ avec $$(x, y) = (-3 \lambda + \mu, \lambda + 3 \mu).$$