1. **Énoncé du problème :** Nous avons un parallélépipède avec une base ordonnée donnée $\{\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{HD}\}$ et nous devons exprimer le vecteur $\vec{HG}$ comme une combinaison linéaire de cette base. 2. **Compréhension des vecteurs :** - $\vec{BA}$ est le vecteur allant de $B$ à $A$. - $\vec{BC}$ est le vecteur allant de $B$ à $C$. - $\vec{HD}$ est le vecteur allant de $H$ à $D$. - $\vec{HG}$ est le vecteur allant de $H$ à $G$. 3. **Relation dans le parallélépipède :** Dans un parallélépipède, les vecteurs des arêtes opposées sont égaux et parallèles. On peut exprimer $\vec{HG}$ en fonction des vecteurs de la base. 4. **Expression de $\vec{HG}$ :** Observons que $\vec{HG} = \vec{HD} + \vec{DG}$. 5. **Vecteur $\vec{DG}$ :** Le vecteur $\vec{DG}$ est parallèle et égal à $\vec{BC}$ car $D$ et $G$ sont respectivement les points opposés à $A$ et $C$ sur la face parallèle. 6. **Donc :** $$\vec{HG} = \vec{HD} + \vec{BC}$$ 7. **Écrire $\vec{HG}$ comme combinaison linéaire de la base :** La base est $\{\vec{BA}, \vec{BC}, \vec{HD}\}$. On remarque que $\vec{HG} = 0 \cdot \vec{BA} + 1 \cdot \vec{BC} + 1 \cdot \vec{HD}$. **Réponse finale :** $$\boxed{\vec{HG} = 0 \cdot \vec{BA} + 1 \cdot \vec{BC} + 1 \cdot \vec{HD}}$$ Cela signifie que $\vec{HG}$ est la somme de $\vec{BC}$ et $\vec{HD}$ dans la base ordonnée donnée.