1. **Énoncé du problème :** Compléter les égalités vectorielles données en utilisant la figure avec les points $A, B, C, D$ alignés. 2. **Exercice 1 :** - On sait que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. - Comme $A, B, C, D$ sont alignés dans cet ordre, on a $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. - Pour $\overrightarrow{DB}$, on exprime $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$. - Pour $\overrightarrow{AD}$, on a $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{DA}$. En utilisant la figure linéaire, on peut écrire : $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{AC} = 2 \overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{DB} = -3 \overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{AD} = -2 \overrightarrow{AB}$$ 3. **Exercice 2 :** 1) Faire une figure avec $ABC$ triangle, $I, J, K$ définis par : $$\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CJ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA}, \quad \overrightarrow{AK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB}$$ 2) Montrer que : $$\overrightarrow{IJ} = -\frac{1}{6}(3 \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{AC})$$ Preuve : $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{CJ} - \overrightarrow{BI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ Utilisant $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$, on obtient : $$\overrightarrow{IJ} = -\frac{1}{6}(3 \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{AC})$$ 3) Montrer que : $$\overrightarrow{IK} = -\frac{1}{10}(3 \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{AC})$$ Preuve : $$\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{BI} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ En exprimant $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ et en utilisant la relation de Chasles, on obtient la formule demandée. 4) Les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ sont colinéaires car ils sont proportionnels à $-(3 \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{AC})$, donc les points $I, J, K$ sont alignés. 4. **Exercice 3 :** 1.a) $ABCD$ est un carré de côté $a$. $I, J, L$ sont milieux des côtés $[AB], [BC], [DA]$. 1.b) Points $K$ et $F$ définis par : $$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$ $$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$$ 1.c) Montrer que : $$\overrightarrow{KF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ Preuve : $$\overrightarrow{KF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AK} = \left(\frac{3}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}\right) - \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right)$$ En simplifiant et utilisant les relations dans le carré, on obtient : $$\overrightarrow{KF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ 1.d) Les droites $(KF)$ et $(BC)$ sont parallèles car leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. 2.a) Dans le repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, on place $A(-2;3)$, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}$. 2.b) Montrer que $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ est une base car $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont linéairement indépendants. 2.c) Écrire $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ dans la base $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ : $$\overrightarrow{i} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}), \quad \overrightarrow{j} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v})$$ 5. **Exercice 4 :** 1. Placer $I$ milieu de $[BC]$, $E$ et $F$ définis par : $$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{AD}$$ 2.a) Montrer que : $$\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$$ 2.b) Montrer que $\overrightarrow{FE}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. 2.c) En utilisant $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EI} = \overrightarrow{BI}$, montrer : $$\overrightarrow{EI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}$$ 3.a) Montrer que : $$\overrightarrow{EI} = -2 \overrightarrow{EF}$$ 3.b) Les vecteurs $\overrightarrow{EI}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires et de sens opposé. 3.c) Les points $I, E, F$ sont alignés. **Résumé :** - Exercices de calcul vectoriel avec relations de Chasles. - Alignement de points démontré par colinéarité des vecteurs. - Utilisation de milieux et combinaisons linéaires.