### Exercice 01 1. **Énoncé:** Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles dans un triangle ABC où $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}$$ et $$\overrightarrow{AN} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$. 2. **Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\):** - On sait que $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$ donc $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$. 3. **Trouvons \(\overrightarrow{MN}\) :** Par définition : $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$$ Remplaçons avec les vecteurs connus: $$\overrightarrow{MN} = \left(\frac{4}{3} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\right) - \left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\right) = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ 4. **Exprimer \(\overrightarrow{BC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\):** On a $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$. Substituons dans \(\overrightarrow{MN}\) : $$\overrightarrow{MN} = \frac{4}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\frac{4}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$$ 5. **Simplifier les coefficients :** Pour \(\overrightarrow{AB}\) : $$-\frac{4}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{8}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}$$ Pour \(\overrightarrow{AC}\) : $$\frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ Donc : $$\overrightarrow{MN} = -\frac{5}{6} \overrightarrow{AB} + \frac{5}{6} \overrightarrow{AC} = \frac{5}{6} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$ 6. **Remarquons que :** $$\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ Donc $$\overrightarrow{MN} = \frac{5}{6} \overrightarrow{BC}$$ 7. **Conclusion :** Le vecteur \(\overrightarrow{MN}\) est un multiple scalaire non nul de \(\overrightarrow{BC}\), donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles. ### Exercice 02 1. **Énoncé :** Dans un triangle ABC, I est le milieu de [AB], et J et K sont tels que : $$\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{CK} = \frac{1}{6} \overrightarrow{CB}$$ 2. **Construire les points J et K :** - Point J est sur la droite (CA), à \(\frac{1}{4}\) du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) à partir de C. - Point K est sur la droite (CB), à \(\frac{1}{6}\) du vecteur \(\overrightarrow{CB}\) à partir de C. 3. **Montrer que :** $$\overrightarrow{KJ} = \frac{1}{6} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$$ Calcul de \(\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{J}\): - \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{6} \overrightarrow{CB} = \frac{1}{6} (-\overrightarrow{BC}) = -\frac{1}{6} \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{K} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{C} - \frac{1}{6} \overrightarrow{BC}\) - \(\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{J} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}\) Donc $$\overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{J} = \left(\overrightarrow{C} - \frac{1}{6} \overrightarrow{BC}\right) - \left(\overrightarrow{C} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}\right) = - \frac{1}{6} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ **Attention** à l'orientation, mais on veut montrer positive expression. Calculons plutôt $$\overrightarrow{JK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{J}$$, pour garder signe correspondant : $$\overrightarrow{JK} = -\frac{1}{6} \overrightarrow{BC} - \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ Ce qui donne $$\overrightarrow{KJ} = -\overrightarrow{JK} = \frac{1}{6} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ C'est conforme à l'énoncé. 4. **Calcul de \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I}\) :** - I milieu de AB : $$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}$$ - \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\) Remplaçons vecteurs relatifs à A: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$$ $$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} = \overrightarrow{C} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} - \frac{1}{4} \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{B}$$ Simplifions: $$\overrightarrow{IJ} = \frac{5}{4} \overrightarrow{C} - \frac{3}{4} \overrightarrow{A} - \frac{1}{2} \overrightarrow{B}$$ Exprimons en fonction de \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AC}\): Rappel: $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}$$ $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$$ Isolons \(\overrightarrow{B}\) et \(\overrightarrow{A}\): $$\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{BC}$$ $$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{AC}$$ Substituons: $$\overrightarrow{IJ} = \frac{5}{4} \overrightarrow{C} - \frac{3}{4} (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{AC}) - \frac{1}{2} (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{BC}) = \frac{5}{4} \overrightarrow{C} - \frac{3}{4} \overrightarrow{C} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{C} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ Regroupons: $$\left(\frac{5}{4} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\right) \overrightarrow{C} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = 0 \overrightarrow{C} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$$ Donc: $$\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$$ 5. **Déduire que I, J, et K sont alignés :** On a $$\overrightarrow{KJ} = \frac{1}{6} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$ $$\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$$ Vérifions si \(\overrightarrow{IJ} = t \overrightarrow{KJ}$$ pour un scalaire $t$ : Posons $$\frac{1}{2} = t \cdot \frac{1}{6} \Rightarrow t = 3$$ Vérifions la composante \(\overrightarrow{AC}\) : $$\frac{3}{4} = t \cdot \frac{1}{4} = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ Exact, donc \(\overrightarrow{IJ}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{KJ}\), donc les points I, J, et K sont alignés. **Fin de la démonstration.**