1. Énoncé du problème 34 : Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré {(A;-1),(B;2),(C;3)}. 2. Montrer que : $$\overrightarrow{CG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{CA}$$. 3. Formule du barycentre : Pour un système pondéré de points $\{(P_i, \lambda_i)\}$, le barycentre $G$ vérifie $$\sum \lambda_i \overrightarrow{GP_i} = \overrightarrow{0}$$ ou $$\sum \lambda_i \overrightarrow{OG} = \sum \lambda_i \overrightarrow{OP_i}$$. 4. Calcul de $\overrightarrow{OG}$ : $$-1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} = ( -1 + 2 + 3 ) \overrightarrow{OG} = 4 \overrightarrow{OG}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{OG} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{4}$$ 5. Exprimer $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OC}$ : $$\overrightarrow{CG} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{4} - \overrightarrow{OC} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} - 4 \overrightarrow{OC}}{4} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{4}$$ 6. Or, $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$, donc $$\overrightarrow{CG} = \frac{2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) - (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC})}{4} = \frac{2 \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}}{4} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CB} - \frac{1}{4} \overrightarrow{CA}$$ 7. Énoncé du problème 35 : Soit ABC un triangle et I le point défini par $$\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$$. 8. Montrer que $$\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$$. 9. Calcul : $$\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI} = -\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} ( -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} )$$ 10. Or, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, donc $$\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$$. 11. Construction de I : Partant de B, on va vers C en parcourant un tiers du segment BC. 12. Résumé : - Pour l'exercice 34, on a montré l'expression de $\overrightarrow{CG}$ en fonction de $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$. - Pour l'exercice 35, on a établi que $\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC}$ et construit le point I en conséquence.