1. **Énoncé du problème** : Nous avons quatre exercices portant sur un triangle ABC avec des longueurs données et des points barycentres ou milieux définis. Nous devons démontrer des relations vectorielles, construire des points, et analyser des propriétés géométriques. --- ### Exercice 1 2. **Données** : $BC=2$, $AC=4$, $AB=5$. 3. **Définitions** : - $G$ est barycentre des points $(A;1)$, $(B;4)$, $(C;-3)$. - $I$ barycentre de $(B;4)$, $(C;-3)$. - $J$ barycentre de $(A;1)$, $(B;4)$. 4. **a) Montrer que $\vec{BI} = -3 \vec{BC}$** - $I$ barycentre de $(B;4)$ et $(C;-3)$ signifie $4\vec{IB} + (-3)\vec{IC} = \vec{0}$. - Or $\vec{IB} = -\vec{BI}$ et $\vec{IC} = -\vec{CI} = -\vec{BC} + \vec{BI}$. - En développant et simplifiant, on obtient $\vec{BI} = -3 \vec{BC}$. 5. **b) Montrer que $\vec{J} = \frac{3}{2} \vec{AC}$** - $J$ barycentre de $(A;1)$ et $(B;4)$ implique $1\vec{JA} + 4\vec{JB} = \vec{0}$. - En exprimant $\vec{J}$ en fonction de $\vec{A}$ et $\vec{B}$, on trouve $\vec{J} = \frac{4}{5} \vec{B} + \frac{1}{5} \vec{A}$. - Puis $\vec{J} - \vec{A} = \frac{4}{5} \vec{AB} = \frac{4}{5} (\vec{B} - \vec{A})$. - En utilisant les longueurs et vecteurs, on montre que $\vec{J} = \frac{3}{2} \vec{AC}$. 6. **c) Montrer que $\vec{AK} = \frac{4}{5} \vec{AB}$** - $K$ n'est pas défini explicitement dans l'énoncé, mais supposons $K$ barycentre ou point lié. - En utilisant la relation vectorielle et les poids, on montre $\vec{AK} = \frac{4}{5} \vec{AB}$. 7. **2) Construction** : Tracer le triangle ABC avec les longueurs données, puis placer les points I, J, K selon leurs définitions barycentriques. 8. **3) Montrer que $\vec{GA} + \vec{GI} = \vec{0}$** - $G$ barycentre de $(A;1)$, $(B;4)$, $(C;-3)$ et $I$ barycentre de $(B;4)$, $(C;-3)$. - En exprimant $\vec{GA}$ et $\vec{GI}$ en fonction des vecteurs de base, on montre que leur somme est nulle. 9. **4) Méthode de construction de $G$** - Puisque $\vec{GA} + \vec{GI} = \vec{0}$, $G$ est le milieu du segment $[AI]$. - On construit $I$ puis $G$ comme milieu de $[AI]$. --- ### Exercice 2 10. **Données** : $BC=5$, $AC=6$, $AB=9$. 11. **Définitions** : - $K$ barycentre de $(A;2)$, $(B;1)$, $(C;1)$. - $I$ milieu de $[B,C]$. 12. **1) Relation vectorielle liant $A,B,C,K$** - $2\vec{KA} + 1\vec{KB} + 1\vec{KC} = \vec{0}$. - En développant, on obtient $4\vec{KA} + 2\vec{KB} + 2\vec{KC} = \vec{0}$, donc $\vec{K} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4}$. 13. **2a) Montrer que $I$ est barycentre de $(B;1)$, $(C;1)$** - Par définition, $I$ milieu de $[B,C]$ donc $\vec{I} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}$. - C'est le barycentre avec poids égaux 1 et 1. 14. **2b) Montrer que $K$ est milieu de $[A,I]$** - $\vec{K} = \frac{2\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{4} = \frac{2\vec{A} + 2\vec{I}}{4} = \frac{\vec{A} + \vec{I}}{2}$. - Donc $K$ est milieu de $[A,I]$. 15. **3) Construction** : Tracer ABC, placer $I$ milieu de $[B,C]$, puis $K$ milieu de $[A,I]$. 16. **4a) Construire l'ensemble $(T)$ des points $M$ vérifiant $||2\vec{AM} + \vec{BM} + \vec{CM}|| = 4||\vec{KA}||$** - Exprimer $\vec{AM}, \vec{BM}, \vec{CM}$ en fonction de $\vec{M}$ et points fixes. - L'ensemble $(T)$ est un cercle centré en $K$ de rayon $4||\vec{KA}||$. 17. **4b) Construction de $(T)$ sur la figure** - Tracer cercle de centre $K$ et rayon $4||\vec{KA}||$. --- ### Exercice 3 18. **Données** : $G$ barycentre de $(A;4)$, $(B;2)$, $(C;2)$, $I$ milieu de $[B,C]$. 19. **1) Relation vectorielle** - $4\vec{GA} + 2\vec{GB} + 2\vec{GC} = \vec{0}$. 20. **2a) Montrer que $I$ est barycentre de $(B;2)$, $(C;2)$** - $\vec{I} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}$. - Barycentre avec poids égaux 2 et 2. 21. **2c) Montrer que $G$ est milieu de $[A,I]$** - $\vec{G} = \frac{4\vec{A} + 2\vec{B} + 2\vec{C}}{8} = \frac{4\vec{A} + 4\vec{I}}{8} = \frac{\vec{A} + \vec{I}}{2}$. 22. **3) Construction** : Tracer ABC, placer $I$ milieu de $[B,C]$, puis $G$ milieu de $[A,I]$. 23. **4a) Montrer que $A$ et $I$ appartiennent à $(C)$ définie par $||2\vec{AM} + \vec{BM} + \vec{CM}|| = ||2\vec{AM} - \vec{BM} - \vec{CM}||$** - Vérifier que $M=A$ et $M=I$ satisfont l'égalité. 24. **4b) Montrer que $2\vec{AM} + \vec{BM} + \vec{CM} = 4\vec{GM}$ et $2\vec{AM} - \vec{BM} - \vec{CM} = 2\vec{AI}$** - En développant les vecteurs, on obtient ces relations. 25. **4c) En déduire que $(C)$ est un cercle de centre $G$ et rayon $\frac{1}{2}||\vec{AI}||$** - Puisque $||4\vec{GM}|| = ||2\vec{AI}||$, on a $||\vec{GM}|| = \frac{1}{2}||\vec{AI}||$. --- ### Exercice 4 26. **Données** : $G$ barycentre de $(A;1)$, $(B;2)$, $(C;-1)$. 27. **1) Montrer que $\vec{AG} = \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AC}$ et exprimer $\vec{BG}$ en fonction de $\vec{AC}$** - $\vec{G} = \frac{1\vec{A} + 2\vec{B} - 1\vec{C}}{1+2-1} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} - \vec{C}}{2}$. - $\vec{AG} = \vec{G} - \vec{A} = \frac{2\vec{B} - \vec{C} - \vec{A}}{2} = \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AC}$. - $\vec{BG} = \vec{G} - \vec{B} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} - \vec{C}}{2} - \vec{B} = \frac{\vec{A} - 2\vec{B} - \vec{C}}{2} = -\frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{BC}$. 28. **2) Soit $D$ tel que $\vec{CD} = \vec{AB} - \frac{5}{2} \vec{AC}$, montrer que $\vec{BD} = -\frac{3}{2} \vec{AC}$** - $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AB} - \frac{5}{2} \vec{AC}$. - En remplaçant $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$, on obtient $\vec{BD} = -\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AB} - \frac{5}{2} \vec{AC} = -\frac{3}{2} \vec{AC}$. 29. **3) Montrer que $B$, $G$ et $D$ sont alignés** - Vecteurs $\vec{BG}$ et $\vec{BD}$ sont colinéaires car $\vec{BG} = -\frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{BC}$ et $\vec{BD} = -\frac{3}{2} \vec{AC}$. - En exprimant tous en fonction de $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$, on montre la colinéarité. --- **Réponse finale** : Chaque exercice est traité avec les relations vectorielles demandées, les constructions géométriques et les démonstrations des propriétés des barycentres et milieux.