1. **Énoncé du problème :** Nous avons un point $G$ défini par des coordonnées barycentriques par rapport aux points $A$, $B$, $C$ avec les coefficients $(A,1)$, $(B,2)$, $(C,3)$. Il faut construire $G$ par deux méthodes différentes. Ensuite, déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $$||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = 10$$ et vérifier que $$||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = ||5\overrightarrow{MA} - 10\overrightarrow{MB}||.$$ 2. **Construction de $G$ par deux méthodes :** - **Méthode 1 : Définition barycentrique** Le point $G$ est défini par $$G = \frac{1\cdot A + 2\cdot B + 3\cdot C}{1+2+3} = \frac{A + 2B + 3C}{6}.$$ Cela signifie que $G$ est le centre de gravité pondéré des points $A$, $B$, $C$ avec poids respectifs 1, 2, 3. - **Méthode 2 : Par vecteurs** On peut exprimer $\overrightarrow{OG}$ (avec $O$ un point origine quelconque) comme $$\overrightarrow{OG} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{6}.$$ Cela revient à la même formule, mais en utilisant les vecteurs position. 3. **Détermination de l'ensemble des points $M$ tels que** $$||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = 10.$$ - Rappel : $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}$. - Posons $\overrightarrow{OM} = \vec{m}$, $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. - Alors $$2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 2(\vec{m} - \vec{a}) + 3(\vec{m} - \vec{b}) = (2+3)\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b} = 5\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b}.$$ - La norme est donc $$||5\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b}|| = 10.$$ - Cette équation décrit un cercle (ou sphère en 3D) centré en $$\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}$$ car $$||5\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b}|| = 5||\vec{m} - \vec{c}|| = 10 \implies ||\vec{m} - \vec{c}|| = 2.$$ - Donc l'ensemble des points $M$ est la sphère (ou cercle) de centre $C' = \frac{2}{5}A + \frac{3}{5}B$ et de rayon 2. 4. **Vérification de l'égalité des normes :** $$||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = ||5\overrightarrow{MA} - 10\overrightarrow{MB}||.$$ - Calculons $$5\overrightarrow{MA} - 10\overrightarrow{MB} = 5(\vec{m} - \vec{a}) - 10(\vec{m} - \vec{b}) = 5\vec{m} - 5\vec{a} - 10\vec{m} + 10\vec{b} = -5\vec{m} - 5\vec{a} + 10\vec{b}.$$ - Factorisons $$= -5(\vec{m} + \vec{a} - 2\vec{b}).$$ - La norme est $$||5\overrightarrow{MA} - 10\overrightarrow{MB}|| = 5||\vec{m} + \vec{a} - 2\vec{b}||.$$ - Pour que cette norme soit égale à $$||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = ||5\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b}||,$$ il faudrait que $$||5\vec{m} - 2\vec{a} - 3\vec{b}|| = 5||\vec{m} + \vec{a} - 2\vec{b}||.$$ - Cette égalité n'est pas vraie en général pour tout $M$, sauf dans des cas particuliers (par exemple si $\vec{m}$ satisfait une relation spécifique). **Conclusion :** - $G$ est construit par barycentres avec la formule $G = \frac{A + 2B + 3C}{6}$. - L'ensemble des points $M$ vérifiant $||2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}|| = 10$ est la sphère de centre $\frac{2}{5}A + \frac{3}{5}B$ et de rayon 2. - L'égalité des normes donnée n'est pas vraie en général.