1. **Énoncé du problème :** Calculer l'aire du triangle dont les sommets sont A(1,0,1), B(0,2,3) et C(2,3,-1). 2. **Formule utilisée :** L'aire d'un triangle formé par deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est donnée par $$\text{Aire} = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$$ Le produit vectoriel \(\vec{u} \times \vec{v}\) donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs, dont la norme correspond à l'aire du parallélogramme formé par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). 3. **Calcul des vecteurs :** On choisit \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0-1, 2-0, 3-1) = (-1, 2, 2)\) On calcule aussi \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-1, 3-0, -1-1) = (1, 3, -2)\) 4. **Calcul du produit vectoriel \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) :** $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \times -2 - 2 \times 3) - \mathbf{j}(-1 \times -2 - 2 \times 1) + \mathbf{k}(-1 \times 3 - 2 \times 1)$$ $$= \mathbf{i}(-4 - 6) - \mathbf{j}(2 - 2) + \mathbf{k}(-3 - 2) = \mathbf{i}(-10) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-5) = (-10, 0, -5)$$ 5. **Calcul de la norme du produit vectoriel :** $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 0 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$ 6. **Calcul de l'aire du triangle :** $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$$ --- 7. **Exercice synthèse avec A(1,0,2), B(2,2,-1), C(6,-1,3) :** (a) Composantes de \(\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2-1, 2-0, -1-2) = (1, 2, -3)\) (b) Longueur de \(\overrightarrow{AB}\) : $$||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ (c) Le triangle est rectangle si deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul. Calculons \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) avec \(\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (6-2, -1-2, 3+1) = (4, -3, 4)\) : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \times 4 + 2 \times (-3) + (-3) \times 4 = 4 - 6 - 12 = -14 \neq 0$$ Donc le triangle n'est pas rectangle. (d) Calcul de l'angle au sommet B entre \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-1, -2, 3)\) et \(\overrightarrow{BC} = (4, -3, 4)\) : $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{||\overrightarrow{BA}|| \, ||\overrightarrow{BC}||}$$ Calcul du produit scalaire : $$(-1) \times 4 + (-2) \times (-3) + 3 \times 4 = -4 + 6 + 12 = 14$$ Normes : $$||\overrightarrow{BA}|| = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{14}$$ $$||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 9 + 16} = \sqrt{41}$$ Donc $$\cos \theta = \frac{14}{\sqrt{14} \times \sqrt{41}} = \frac{14}{\sqrt{574}}$$ Angle : $$\theta = \arccos \left(\frac{14}{\sqrt{574}}\right)$$ (e) Aire du triangle ABC : Calcul du produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\) avec \(\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (6-1, -1-0, 3-2) = (5, -1, 1)\) : $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \times 1 - (-3) \times (-1)) - \mathbf{j}(1 \times 1 - (-3) \times 5) + \mathbf{k}(1 \times (-1) - 2 \times 5)$$ $$= \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(1 + 15) + \mathbf{k}(-1 - 10) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(16) + \mathbf{k}(-11) = (-1, -16, -11)$$ Norme : $$\sqrt{(-1)^2 + (-16)^2 + (-11)^2} = \sqrt{1 + 256 + 121} = \sqrt{378} = 3\sqrt{42}$$ Aire : $$\frac{1}{2} \times 3\sqrt{42} = \frac{3\sqrt{42}}{2}$$ (f) Vérification si \(\vec{v} = (2,1,-1)\) est perpendiculaire au triangle ABC : Un vecteur est perpendiculaire au plan du triangle si il est colinéaire au produit vectoriel \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\). Calcul du produit scalaire : $$\vec{v} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) = 2 \times (-1) + 1 \times (-16) + (-1) \times (-11) = -2 -16 + 11 = -7 \neq 0$$ Donc \(\vec{v}\) n'est pas perpendiculaire au triangle ABC. **Réponses finales :** - Aire du triangle ABC (premier) : $$\frac{5\sqrt{5}}{2}$$ - Composantes \(\overrightarrow{AB} = (1, 2, -3)\) - Longueur \(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{14}$$ - Triangle non rectangle - Angle au sommet B : $$\theta = \arccos \left(\frac{14}{\sqrt{574}}\right)$$ - Aire du triangle ABC (synthèse) : $$\frac{3\sqrt{42}}{2}$$ - \(\vec{v} = (2,1,-1)\) n'est pas perpendiculaire au triangle ABC.