1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs triplets de points $A$, $B$, $C$ dans l'espace avec leurs coordonnées respectives. Pour chaque triplet, il faut : - Déterminer l'équation du plan $(ABC)$. - Trouver la ligne de plus grande pente passant par le milieu du segment $[AB]$. 2. **Calcul du plan $(ABC)$ :** Le plan est défini par un point (par exemple $A$) et un vecteur normal $\vec{n}$. Le vecteur normal $\vec{n}$ est obtenu par le produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC}$. 3. **Calcul du milieu $M$ de $[AB]$ :** $$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)$$ 4. **Ligne de plus grande pente :** La direction de la plus grande pente est donnée par la projection du vecteur $\vec{n}$ sur le plan horizontal (axe $x$ et $y$), car la pente est la variation verticale maximale. 5. **Exemple avec le premier triplet :** $A(30,10,5)$, $B(30,30,5)$, $C(10,10,25)$ - Calcul des vecteurs : $$\vec{AB} = (0, 20, 0), \quad \vec{AC} = (-20, 0, 20)$$ - Produit vectoriel : $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 20 & 0 \\ -20 & 0 & 20 \end{vmatrix} = (400, 0, 400)$$ - Équation du plan : $$400(x - 30) + 0(y - 10) + 400(z - 5) = 0 \Rightarrow (x - 30) + (z - 5) = 0$$ - Milieu $M$ de $[AB]$ : $$M = \left(\frac{30 + 30}{2}, \frac{10 + 30}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = (30, 20, 5)$$ - Direction de la plus grande pente (projection de $\vec{n}$ sur $xy$) : $$\vec{d} = (400, 0)$$ - Ligne de plus grande pente passant par $M$ : $$\begin{cases} x = 30 + 400t \\ y = 20 \end{cases}$$ 6. **Répéter ces étapes pour chaque triplet de points.** **Résumé :** - Trouver $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ - Calculer $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ - Équation du plan : $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0$ - Milieu $M$ de $[AB]$ - Ligne de plus grande pente : droite passant par $M$ dans la direction de la projection horizontale de $\vec{n}$. **q_count** : 7 (un pour chaque triplet)