1. **Énoncé du problème** : Déterminer les vecteurs normaux des plans pour les groupes A et B. Vérifier si les vecteurs normaux sont parallèles et linéairement dépendants. Déterminer le lieu d'intersection des plans de chaque groupe. Expliquer la différence principale entre ces lieux d'intersection. 2. **Vecteurs normaux** : Pour un plan $ax + by + cz = d$, le vecteur normal est $\vec{n} = (a,b,c)$. - Groupe A : - $\pi_1 : 2x - y + 3z = 6 \Rightarrow \vec{n}_1 = (2,-1,3)$ - $\pi_2 : -x + 2y + 3z = -1 \Rightarrow \vec{n}_2 = (-1,2,3)$ - $\pi_3 : -x + 5y + 12z = 3 \Rightarrow \vec{n}_3 = (-1,5,12)$ - Groupe B : - $\pi_4 : 3x + 2y - 2z = -1 \Rightarrow \vec{n}_4 = (3,2,-2)$ - $\pi_5 : -2x + y + z = 3 \Rightarrow \vec{n}_5 = (-2,1,1)$ - $\pi_6 : 2x + 6y - 2z = 2 \Rightarrow \vec{n}_6 = (2,6,-2)$ 3. **Parallélisme et dépendance linéaire** : - Groupe A : Vérifions si $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$, $\vec{n}_3$ sont colinéaires ou linéairement dépendants. - $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ ne sont pas multiples l'un de l'autre (pas de $k$ tel que $\vec{n}_2 = k \vec{n}_1$). - $\vec{n}_3$ n'est pas multiple de $\vec{n}_1$ ni $\vec{n}_2$. - Vérification de dépendance linéaire : Résolvons $\alpha \vec{n}_1 + \beta \vec{n}_2 = \vec{n}_3$ : $$\alpha (2,-1,3) + \beta (-1,2,3) = (-1,5,12)$$ Ce système a une solution, donc $\vec{n}_3$ est combinaison linéaire de $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$. Conclusion : les vecteurs normaux du groupe A sont linéairement dépendants mais pas parallèles. - Groupe B : Vérifions si $\vec{n}_4$, $\vec{n}_5$, $\vec{n}_6$ sont linéairement dépendants. - $\vec{n}_6 = 2 \times \vec{n}_5$ ? $2 \times (-2,1,1) = (-4,2,2) \neq (2,6,-2)$ donc non. - Vérifions si $\vec{n}_6$ est combinaison linéaire de $\vec{n}_4$ et $\vec{n}_5$ : Résolvons $\alpha \vec{n}_4 + \beta \vec{n}_5 = \vec{n}_6$ : $$\alpha (3,2,-2) + \beta (-2,1,1) = (2,6,-2)$$ Ce système n'a pas de solution, donc les vecteurs sont linéairement indépendants. Conclusion : les vecteurs normaux du groupe B sont linéairement indépendants et non parallèles. 4. **Lieux d'intersection** : - Groupe A : Trois plans avec vecteurs normaux linéairement dépendants. Cela signifie que les plans peuvent s'intersecter selon une droite commune. Pour trouver cette droite, on résout le système : $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 6 \\ -x + 2y + 3z = -1 \\ -x + 5y + 12z = 3 \end{cases}$$ Résolution (par substitution ou matrice) donne une droite paramétrée. - Groupe B : Trois plans avec vecteurs normaux linéairement indépendants. Cela signifie que les plans s'intersectent en un point unique. Résolvons le système : $$\begin{cases} 3x + 2y - 2z = -1 \\ -2x + y + z = 3 \\ 2x + 6y - 2z = 2 \end{cases}$$ La solution est un point unique $(x_0,y_0,z_0)$. 5. **Différence principale entre les lieux d'intersection** : - Groupe A : intersection en une droite (infinité de points). - Groupe B : intersection en un point unique. **Réponse finale** : - Vecteurs normaux du groupe A sont linéairement dépendants, intersection est une droite. - Vecteurs normaux du groupe B sont linéairement indépendants, intersection est un point.