1. **Énoncé du problème :** Nous avons les points $O=(0,0,0)$, $A=(1,2,3)$, $B=(8,6,7)$, $C=(-2,1,8)$ et le vecteur $\vec{u}=(-3,4,-1)$. Nous devons répondre aux questions a) à f). 2. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} = B - A = (8-1, 6-2, 7-3) = (7,4,4)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-1, 1-2, 8-3) = (-3,-1,5)$$ 3. **a) Déterminer l’angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** L'angle $\theta$ entre deux vecteurs est donné par : $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\|}$$ Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7 \times (-3) + 4 \times (-1) + 4 \times 5 = -21 -4 + 20 = -5$$ Normes : $$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$$ $$\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$$ Donc : $$\cos \theta = \frac{-5}{9 \times \sqrt{35}}$$ L'angle est : $$\theta = \arccos \left( \frac{-5}{9 \sqrt{35}} \right)$$ 4. **b) Coordonnées du point $P$ situé à 3 unités de $A$ sur le segment $\overrightarrow{AB}$ :** Le vecteur unitaire dans la direction $\overrightarrow{AB}$ est : $$\hat{u}_{AB} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|} = \left(\frac{7}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right)$$ Le point $P$ est à 3 unités de $A$ donc : $$P = A + 3 \times \hat{u}_{AB} = \left(1 + 3 \times \frac{7}{9}, 2 + 3 \times \frac{4}{9}, 3 + 3 \times \frac{4}{9}\right) = \left(1 + \frac{7}{3}, 2 + \frac{4}{3}, 3 + \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{13}{3}\right)$$ 5. **c) Coordonnées du point $Q$ tel que $\overrightarrow{AQ}$ soit parallèle à $\vec{u}$ :** Si $\overrightarrow{AQ} = t \vec{u}$, alors $$Q = A + t \vec{u} = (1 - 3t, 2 + 4t, 3 - t)$$ Les coordonnées de $Q$ dépendent du paramètre $t$. 6. **d) Barycentre de $A$, $B$ et $C$ :** Le barycentre $G$ est la moyenne des coordonnées : $$G = \left( \frac{1+8-2}{3}, \frac{2+6+1}{3}, \frac{3+7+8}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, 3, 6 \right)$$ 7. **e) Volume du tétraèdre $OABC$ :** Le volume est donné par : $$V = \frac{1}{6} \left| \det(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}) \right|$$ Calcul des vecteurs : $$\overrightarrow{OA} = A = (1,2,3), \quad \overrightarrow{OB} = B = (8,6,7), \quad \overrightarrow{OC} = C = (-2,1,8)$$ Calcul du déterminant : $$\det = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & 7 \\ -2 & 1 & 8 \end{vmatrix} = 1 \times (6 \times 8 - 7 \times 1) - 2 \times (8 \times 8 - 7 \times (-2)) + 3 \times (8 \times 1 - 6 \times (-2))$$ $$= 1 \times (48 - 7) - 2 \times (64 + 14) + 3 \times (8 + 12) = 41 - 2 \times 78 + 3 \times 20 = 41 - 156 + 60 = -55$$ Donc : $$V = \frac{1}{6} | -55 | = \frac{55}{6}$$ 8. **f) Équation normale du plan contenant $A$, $B$ et $C$ :** Le vecteur normal $\vec{n}$ est le produit vectoriel : $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$ Calcul : $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 7 & 4 & 4 \\ -3 & -1 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \times 5 - 4 \times (-1)) - \mathbf{j}(7 \times 5 - 4 \times (-3)) + \mathbf{k}(7 \times (-1) - 4 \times (-3))$$ $$= \mathbf{i}(20 + 4) - \mathbf{j}(35 + 12) + \mathbf{k}(-7 + 12) = 24 \mathbf{i} - 47 \mathbf{j} + 5 \mathbf{k}$$ L'équation du plan est : $$24(x - 1) - 47(y - 2) + 5(z - 3) = 0$$ Ou développée : $$24x - 24 - 47y + 94 + 5z - 15 = 0$$ $$24x - 47y + 5z + 55 = 0$$ **Réponses finales :** - a) $\theta = \arccos \left( \frac{-5}{9 \sqrt{35}} \right)$ - b) $P = \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{13}{3}\right)$ - c) $Q = (1 - 3t, 2 + 4t, 3 - t)$ avec $t \in \mathbb{R}$ - d) $G = \left( \frac{7}{3}, 3, 6 \right)$ - e) $V = \frac{55}{6}$ - f) $24x - 47y + 5z + 55 = 0$