1. Énoncé du problème : Dans le cube ABCDEFGH, on place le point M milieu du segment [AB]. On cherche à caractériser le plan (CEM) et à justifier que le point N, milieu du segment [GH], appartient à ce plan. 2. Rappel des propriétés : - Le point M est le milieu de [AB], donc $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$. - Le point N est le milieu de [GH], donc $\overrightarrow{GN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GH}$. - Le plan (CEM) est défini par les points C, E, et M. 3. Caractérisation du plan (CEM) : Le plan (CEM) est le plan passant par les points C, E, et M. On peut exprimer un vecteur directeur du plan par deux vecteurs non colinéaires : $$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{C}$$ $$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}$$ 4. Justification que N appartient au plan (CEM) : On doit montrer que le vecteur $\overrightarrow{CN}$ est un combinaison linéaire de $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CM}$. Dans un cube, les points sont tels que : - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$ - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$ - $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DH}$ En coordonnées, si on place A à l'origine, on peut écrire : - $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ - $\overrightarrow{E} = \overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{N} = \overrightarrow{G} + \frac{1}{2} \overrightarrow{GH}$ En exprimant $\overrightarrow{CN}$ en fonction de $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CM}$, on trouve que : $$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CE} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CM}$$ Donc, N appartient bien au plan (CEM). 5. Conclusion : Le plan (CEM) est caractérisé par les points C, E, et M, et le point N, milieu de [GH], appartient à ce plan car son vecteur position est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan.