1. **Énoncé du problème** : On a le plan $(p): x+y-z+2=0$ et deux points $A(1;-2;1)$ et $B(3;2;7)$. 2. **Vérifier que $A$ et $B$ appartiennent au plan $(p)$** : Pour $A(1;-2;1)$, on remplace dans l'équation du plan : $$1 + (-2) - 1 + 2 = 0$$ $$1 - 2 - 1 + 2 = 0$$ $$0 = 0$$ Donc $A$ est dans le plan. Pour $B(3;2;7)$ : $$3 + 2 - 7 + 2 = 0$$ $$5 - 7 + 2 = 0$$ $$0 = 0$$ Donc $B$ est aussi dans le plan. 3. **Trouver la médiatrice $(D)$ de $[AB]$ dans le plan $(p)$** : - Le vecteur $\overrightarrow{AB} = (3-1, 2-(-2), 7-1) = (2, 4, 6)$. - Le milieu $M$ de $[AB]$ est : $$M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+2}{2}, \frac{1+7}{2}\right) = (2, 0, 4)$$ 4. **Vecteur directeur de la médiatrice** : La médiatrice est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$ et est dans le plan $(p)$. - Le vecteur normal au plan $(p)$ est $\vec{n} = (1,1,-1)$. - Le vecteur directeur $\vec{d}$ de la médiatrice est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\vec{n}$, donc : $$\vec{d} = \overrightarrow{AB} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calcul du produit vectoriel : $$\vec{d} = (4 \times (-1) - 6 \times 1, -(2 \times (-1) - 6 \times 1), 2 \times 1 - 4 \times 1) = (-4 - 6, -( -2 - 6), 2 - 4) = (-10, 8, -2)$$ 5. **Équation paramétrique de la médiatrice $(D)$** : $$\begin{cases} x = 2 - 10t \\ y = 0 + 8t \\ z = 4 - 2t \end{cases}$$ avec $t \in \mathbb{R}$. **Réponse finale** : Les points $A$ et $B$ appartiennent bien au plan $(p)$. La médiatrice $(D)$ de $[AB]$ dans le plan $(p)$ a pour équation paramétrique : $$\begin{cases} x = 2 - 10t \\ y = 8t \\ z = 4 - 2t \end{cases}$$