1. **Énoncé du problème** : Nous avons trois droites dans l'espace : - $D_1 : \frac{x+2}{2} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z}{4}$ - $D_2 : (x,y,z) = (3,-8,6) + k(-4,6,-8), k \in \mathbb{R}$ - $D_3 : \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = -2 + 4t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ Nous devons former : - un couple de droites parallèles; - un couple de droites sécantes (avec point d'intersection); - un couple de droites gauches. 2. **Vecteurs directeurs des droites** : - Pour $D_1$, le vecteur directeur est $\vec{u_1} = (2, -3, 4)$ (car $\frac{x+2}{2} = \frac{y-3}{-3} = \frac{z}{4}$). - Pour $D_2$, le vecteur directeur est $\vec{u_2} = (-4, 6, -8)$. - Pour $D_3$, le vecteur directeur est $\vec{u_3} = (3, -1, 4)$. 3. **Couple de droites parallèles** : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Vérifions si $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires : $$\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}, \quad \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$$ Tous les rapports sont égaux, donc $\vec{u_1} = -\frac{1}{2} \vec{u_2}$. Donc $D_1$ et $D_2$ sont parallèles. 4. **Couple de droites sécantes** : Cherchons si $D_1$ et $D_3$ s'intersectent. Paramétrons $D_1$ avec un paramètre $s$ : $$x = -2 + 2s, \quad y = 3 - 3s, \quad z = 4s$$ Paramètres de $D_3$ sont $t$ : $$x = 1 + 3t, \quad y = 2 - t, \quad z = -2 + 4t$$ Égalisons les coordonnées : $$-2 + 2s = 1 + 3t \quad (1)$$ $$3 - 3s = 2 - t \quad (2)$$ $$4s = -2 + 4t \quad (3)$$ De (1) : $2s - 3t = 3$ De (2) : $-3s + t = -1$ De (3) : $4s - 4t = -2$ Résolvons le système : De (2) : $t = -1 + 3s$ Substituons dans (1) : $$2s - 3(-1 + 3s) = 3 \Rightarrow 2s + 3 - 9s = 3 \Rightarrow -7s = 0 \Rightarrow s = 0$$ Alors $t = -1 + 3 \times 0 = -1$ Vérifions dans (3) : $$4 \times 0 - 4 \times (-1) = 0 + 4 = 4 \neq -2$$ Contradiction, donc $D_1$ et $D_3$ ne s'intersectent pas. Testons $D_2$ et $D_3$ : Paramètres $k$ pour $D_2$ : $$x = 3 - 4k, \quad y = -8 + 6k, \quad z = 6 - 8k$$ Paramètres $t$ pour $D_3$ : $$x = 1 + 3t, \quad y = 2 - t, \quad z = -2 + 4t$$ Égalisons : $$3 - 4k = 1 + 3t \quad (4)$$ $$-8 + 6k = 2 - t \quad (5)$$ $$6 - 8k = -2 + 4t \quad (6)$$ De (4) : $-4k - 3t = -2$ De (5) : $6k + t = 10$ De (6) : $-8k - 4t = -8$ Résolvons : De (5) : $t = 10 - 6k$ Substituons dans (4) : $$-4k - 3(10 - 6k) = -2 \Rightarrow -4k - 30 + 18k = -2 \Rightarrow 14k = 28 \Rightarrow k = 2$$ Alors $t = 10 - 6 \times 2 = 10 - 12 = -2$ Vérifions dans (6) : $$-8 \times 2 - 4 \times (-2) = -16 + 8 = -8$$ C'est correct. Donc $D_2$ et $D_3$ s'intersectent au point : $$x = 3 - 4 \times 2 = 3 - 8 = -5$$ $$y = -8 + 6 \times 2 = -8 + 12 = 4$$ $$z = 6 - 8 \times 2 = 6 - 16 = -10$$ 5. **Couple de droites gauches** : Deux droites sont gauches si elles ne sont ni parallèles ni sécantes. Nous avons vu que : - $D_1$ et $D_2$ sont parallèles. - $D_2$ et $D_3$ sont sécantes. Donc $D_1$ et $D_3$ sont gauches. **Réponses finales** : - Droites parallèles : $D_1$ et $D_2$ - Droites sécantes : $D_2$ et $D_3$ au point $(-5, 4, -10)$ - Droites gauches : $D_1$ et $D_3$