1. Énoncé du problème : Trouver les équations de la droite passant par le point $P(1,4,-3)$ et perpendiculaire à chacune des droites données. 2. Droites données : - Droite 1 : $\frac{x-3}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+2}{4}$ - Droite 2 : $x=4$, $y=3+t$, $z=-2+4t$ 3. Trouvons les vecteurs directeurs des droites : - Pour la droite 1, le vecteur directeur est $\vec{d_1} = (1, 2, 4)$ - Pour la droite 2, le vecteur directeur est $\vec{d_2} = (0, 1, 4)$ 4. La droite cherchée doit être perpendiculaire à ces deux vecteurs, donc son vecteur directeur $\vec{d}$ est orthogonal à $\vec{d_1}$ et $\vec{d_2}$. 5. Le vecteur directeur $\vec{d}$ est donné par le produit vectoriel : $$\vec{d} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$$ 6. Calcul du produit vectoriel : $$\vec{d} = \mathbf{i}(2 \times 4 - 4 \times 1) - \mathbf{j}(1 \times 4 - 4 \times 0) + \mathbf{k}(1 \times 1 - 2 \times 0)$$ $$= \mathbf{i}(8 - 4) - \mathbf{j}(4 - 0) + \mathbf{k}(1 - 0) = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$$ 7. Donc, $\vec{d} = (4, -4, 1)$ 8. L'équation paramétrique de la droite passant par $P(1,4,-3)$ avec vecteur directeur $\vec{d}$ est : $$x = 1 + 4t$$ $$y = 4 - 4t$$ $$z = -3 + t$$ 9. Équations symétriques : $$\frac{x-1}{4} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z+3}{1}$$ Réponse finale : La droite cherchée a pour équations paramétriques $$x = 1 + 4t, \quad y = 4 - 4t, \quad z = -3 + t$$ et pour équations symétriques $$\frac{x-1}{4} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z+3}{1}$$