1. Énoncé du problème : Trouver l'équation de la droite (D) qui passe par le point $B(0,1,2)$, a pour vecteur directeur $\vec{n}(-1,1,1)$, est perpendiculaire à la droite $d_1$ définie par $x=m$, $y=m-1$, $z=1$, et coupe $d_1$ au point $A(1,0,1)$. 2. Vérification que $A(1,0,1)$ appartient à $d_1$ : Pour $d_1$, on a $x=m$, $y=m-1$, $z=1$. Si $A$ est sur $d_1$, il existe un $m$ tel que $1=m$, $0=m-1$, $1=1$. Vérifions : - $1=m$ donc $m=1$ - $0=m-1=1-1=0$ correct - $z=1$ correct Donc $A$ est bien sur $d_1$. 3. Équation paramétrique de la droite (D) passant par $B$ avec vecteur directeur $\vec{n}$ : $$\begin{cases} x = 0 - t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$$ 4. Trouvons le paramètre $t$ pour lequel (D) passe par $A(1,0,1)$ : - $x = 0 - t = 1 \Rightarrow t = -1$ - $y = 1 + t = 1 - 1 = 0$ - $z = 2 + t = 2 - 1 = 1$ Les coordonnées correspondent bien à $A$. 5. Vérification de la perpendicularité entre (D) et $d_1$ : Le vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u} = (1,1,0)$ (car $x=m$, $y=m-1$, donc variation de $x$ et $y$ par rapport à $m$ est $(1,1)$, $z$ est constant). Le produit scalaire entre $\vec{n} = (-1,1,1)$ et $\vec{u} = (1,1,0)$ est : $$\vec{n} \cdot \vec{u} = (-1) \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = -1 + 1 + 0 = 0$$ Donc (D) est bien perpendiculaire à $d_1$. 6. Conclusion : L'équation paramétrique de la droite (D) est $$\begin{cases} x = -t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$$ avec $t \in \mathbb{R}$, et elle passe par $B$ et $A$, est perpendiculaire à $d_1$. Réponse finale : $$\boxed{\begin{cases} x = -t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}}$$