1. **Énoncé du problème :** Trouver les équations paramétriques de la droite passant par le point $M(-6,19,15)$ et parallèle à la droite définie par le système \(\Delta : \begin{cases} 3x - y + 2z - 7 = 0 \\ x + 3y - 2z + 3 = 0 \end{cases}\). 2. **Trouver le vecteur directeur de la droite \(\Delta\) :** Le vecteur directeur est orthogonal aux vecteurs normaux des plans qui définissent \(\Delta\). Les plans sont : $$ \begin{cases} 3x - y + 2z - 7 = 0 \\ x + 3y - 2z + 3 = 0 \end{cases} $$ Leurs vecteurs normaux sont: $$ \vec{n_1} = (3, -1, 2), \quad \vec{n_2} = (1, 3, -2) $$ Le vecteur directeur \(\vec{d}\) est le produit vectoriel : $$ \vec{d} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) - 2 \times 3) - \mathbf{j}(3 \times (-2) - 2 \times 1) + \mathbf{k}(3 \times 3 - (-1) \times 1) $$ Calculons : $$ \vec{d} = \mathbf{i}(2 - 6) - \mathbf{j}(-6 - 2) + \mathbf{k}(9 + 1) = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(10) = (-4, 8, 10) $$ 3. **Équations paramétriques de la droite passant par $M$ avec vecteur directeur $\vec{d}$ :** Soit le paramètre $t \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{cases} x = -6 - 4t \\ y = 19 + 8t \\ z = 15 + 10t \end{cases} $$ 4. **Conclusion :** Les équations paramétriques de la droite sont : $$ \boxed{\begin{cases} x = -6 - 4t \\ y = 19 + 8t \\ z = 15 + 10t \end{cases}} $$ Ceci décrit la droite passant par $M(-6,19,15)$ et parallèle à la droite définie par le système donné.