1. Énoncé du problème : Trouver l'équation de la droite parallèle au vecteur $\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{k}$ et passant par l'intersection des droites 1 et 2. 2. Droites données : - Droite 1 : $\frac{x-6}{4} = \frac{y-3}{2} = z$ - Droite 2 : $x=3+t$, $y=-t$, $z=-1$ 3. Trouvons le point d'intersection des deux droites. Pour la droite 1, posons $\lambda = \frac{x-6}{4} = \frac{y-3}{2} = z$. Donc : $$x = 4\lambda + 6, \quad y = 2\lambda + 3, \quad z = \lambda$$ 4. Pour la droite 2, les coordonnées sont : $$x = 3 + t, \quad y = -t, \quad z = -1$$ 5. À l'intersection, les coordonnées doivent être égales : $$4\lambda + 6 = 3 + t$$ $$2\lambda + 3 = -t$$ $$\lambda = -1$$ 6. Remplaçons $\lambda = -1$ dans les deux premières équations : $$4(-1) + 6 = 3 + t \Rightarrow 2 = 3 + t \Rightarrow t = -1$$ $$2(-1) + 3 = -t \Rightarrow 1 = -t \Rightarrow t = -1$$ Les deux valeurs de $t$ concordent, donc le point d'intersection est : $$x = 3 + (-1) = 2, \quad y = -(-1) = 1, \quad z = -1$$ 7. Le vecteur directeur de la droite cherchée est $\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{k} = (1, 0, -2)$. 8. L'équation paramétrique de la droite parallèle à $\vec{v}$ et passant par le point d'intersection $(2,1,-1)$ est : $$x = 2 + t, \quad y = 1, \quad z = -1 - 2t$$ 9. En forme symétrique : $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-2}$$ La partie $\frac{y - 1}{0}$ signifie que $y = 1$ est constant. Réponse finale : $$\boxed{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = -1 - 2t \end{cases}}$$