1. Énonçons le problème : Trouver la distance entre le point $P(4,1,2)$ et la droite donnée par les équations paramétriques $$\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+2}{-2}.$$\n\n2. Rappel de la formule : La distance $d$ entre un point $P$ et une droite passant par un point $A$ avec un vecteur directeur $\vec{u}$ est donnée par $$d = \frac{\|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|},$$ où $\overrightarrow{AP}$ est le vecteur allant de $A$ à $P$ et $\times$ désigne le produit vectoriel.\n\n3. Identifions les éléments :\n- Point $A$ sur la droite : $(2,-1,-2)$ (car $x-2$, $y+1$, $z+2$ dans les fractions)\n- Vecteur directeur $\vec{u} = (4,5,-2)$\n- Vecteur $\overrightarrow{AP} = P - A = (4-2, 1-(-1), 2-(-2)) = (2,2,4)$\n\n4. Calcul du produit vectoriel :\n$$\overrightarrow{AP} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \times (-2) - 4 \times 5) - \mathbf{j}(2 \times (-2) - 4 \times 4) + \mathbf{k}(2 \times 5 - 2 \times 4)$$\n$$= \mathbf{i}(-4 - 20) - \mathbf{j}(-4 - 16) + \mathbf{k}(10 - 8) = \mathbf{i}(-24) - \mathbf{j}(-20) + \mathbf{k}(2) = (-24, 20, 2)$$\n\n5. Normes :\n$$\|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}\| = \sqrt{(-24)^2 + 20^2 + 2^2} = \sqrt{576 + 400 + 4} = \sqrt{980} = 7\sqrt{20}$$\n$$\|\vec{u}\| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 25 + 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$\n\n6. Calcul de la distance :\n$$d = \frac{7\sqrt{20}}{3\sqrt{5}} = \frac{7 \times 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{14\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{14}{3} \approx 4.6667.$$\n\nRéponse finale : La distance entre le point et la droite est $\boxed{\frac{14}{3}}$.