1. Énoncé du problème : Dans un cube ABCDEFGH, on doit décomposer les vecteurs donnés en fonction des vecteurs de base $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$. 2. Rappel des vecteurs de base : - $\overrightarrow{AB}$ : vecteur allant de A à B - $\overrightarrow{AD}$ : vecteur allant de A à D - $\overrightarrow{AE}$ : vecteur allant de A à E 3. Coordonnées des points dans le cube (en prenant A comme origine) : - $A = (0,0,0)$ - $B = (1,0,0)$ - $C = (1,1,0)$ - $D = (0,1,0)$ - $E = (0,0,1)$ - $F = (1,0,1)$ - $G = (1,1,1)$ - $H = (0,1,1)$ 4. Calcul des points milieux : - $J$ milieu de $[BC]$ : $J = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$ - $M$ milieu de $[EF]$ : $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$ - $P$ milieu de $[GH]$ : $P = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 1, 1)$ - $Q$ milieu de $[EH]$ : $Q = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$ 5. Décomposition des vecteurs demandés : (a) $\overrightarrow{BH} = H - B = (0,1,1) - (1,0,0) = (-1,1,1)$ En fonction de $\overrightarrow{AB} = (1,0,0)$, $\overrightarrow{AD} = (0,1,0)$, $\overrightarrow{AE} = (0,0,1)$ : $$\overrightarrow{BH} = -1 \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$$ (b) $\overrightarrow{BP} = P - B = (0.5,1,1) - (1,0,0) = (-0.5,1,1)$ $$\overrightarrow{BP} = -0.5 \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$$ (c) $\overrightarrow{BQ} = Q - B = (0,0.5,1) - (1,0,0) = (-1,0.5,1)$ $$\overrightarrow{BQ} = -1 \overrightarrow{AB} + 0.5 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$$ (d) $\overrightarrow{GJ} = J - G = (1,0.5,0) - (1,1,1) = (0,-0.5,-1)$ $$\overrightarrow{GJ} = 0 \overrightarrow{AB} - 0.5 \overrightarrow{AD} - 1 \overrightarrow{AE}$$ (e) $\overrightarrow{CE} = E - C = (0,0,1) - (1,1,0) = (-1,-1,1)$ $$\overrightarrow{CE} = -1 \overrightarrow{AB} - 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$$ 6. Résumé des décompositions : - $\overrightarrow{BH} = -1 \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{BP} = -0.5 \overrightarrow{AB} + 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{BQ} = -1 \overrightarrow{AB} + 0.5 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{GJ} = 0 \overrightarrow{AB} - 0.5 \overrightarrow{AD} - 1 \overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{CE} = -1 \overrightarrow{AB} - 1 \overrightarrow{AD} + 1 \overrightarrow{AE}$