1. **Énoncé du problème :** On considère un cube ABCDEFGH avec un repère orthonormé (A, \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}). I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [HG], et k est le centre de la face BCGF. 2. **Détermination des coordonnées :** - Le cube a des arêtes de longueur 1 (par convention). - Dans le repère donné, on pose : - $A = (0,0,0)$ - $B = (1,0,0)$ car \vec{AB} est l'axe x - $D = (0,1,0)$ car \vec{AD} est l'axe y - $E = (0,0,1)$ car \vec{AE} est l'axe z Les autres points du cube sont : - $C = B + \vec{AD} = (1,1,0)$ - $F = E + \vec{AB} = (1,0,1)$ - $G = F + \vec{AD} = (1,1,1)$ - $H = E + \vec{AD} = (0,1,1)$ Les points I, J, k sont : - $I$ milieu de $[AB] = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5,0,0)$ - $J$ milieu de $[HG] = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5,1,1)$ - $k$ centre de la face BCGF, donc milieu de $[CG]$ ou $[BF]$ : - $C = (1,1,0)$, $G = (1,1,1)$ donc $k = \left(1,1,\frac{0+1}{2}\right) = (1,1,0.5)$ 3. **Démonstration que le quadrilatère D I F J est un parallélogramme :** - Coordonnées des points : - $D = (0,1,0)$ - $I = (0.5,0,0)$ - $F = (1,0,1)$ - $J = (0.5,1,1)$ - Calcul des vecteurs : - $\overrightarrow{DI} = I - D = (0.5 - 0, 0 - 1, 0 - 0) = (0.5, -1, 0)$ - $\overrightarrow{FJ} = J - F = (0.5 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (-0.5, 1, 0)$ - Vérification que $\overrightarrow{DI} = -\overrightarrow{FJ}$, donc $\overrightarrow{DI}$ et $\overrightarrow{FJ}$ sont parallèles et de même longueur. - Calcul des vecteurs : - $\overrightarrow{IF} = F - I = (1 - 0.5, 0 - 0, 1 - 0) = (0.5, 0, 1)$ - $\overrightarrow{DJ} = J - D = (0.5 - 0, 1 - 1, 1 - 0) = (0.5, 0, 1)$ - On a $\overrightarrow{IF} = \overrightarrow{DJ}$. - Deux côtés opposés sont donc parallèles et égaux, ce qui prouve que le quadrilatère $D I F J$ est un parallélogramme. **Réponse finale :** Le quadrilatère $D I F J$ est un parallélogramme.