1. **Énoncé du problème** : Nous avons un cube ABCDEFGH avec une pyramide régulière SEFGH surmontée. On donne que $OS = (\sqrt{3} - 1) \sqrt{E}$ où $O$ est le milieu de $[EG]$. Le repère orthonormé direct est $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$. 2. **Coordonnées des points J et K** : - $J$ est le milieu de $[BC]$. - $K$ est le milieu de $[BF]$, $K$ est aussi le milieu de $[HF]$ (à préciser, mais on prend $K$ comme milieu de $[BF]$). Dans le repère de base $A(0,0,0)$, $AB$, $AD$, and $AE$ sont les axes: - $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$. - $F=(1,0,1)$, $H=(0,1,1)$. Alors : - $J = \text{milieu de } BC = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$. - $K = \text{milieu de } BF = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 0, 0.5)$. 3. **Coordonnées de L** : L est barycentre de $(D;1)$ et $(F;2)$. $D=(0,1,0)$, $F=(1,0,1)$. Le barycentre des points pondérés est: $$L=\frac{1\cdot D + 2\cdot F}{1+2} = \left(\frac{0+2}{3},\frac{1+0}{3},\frac{0+2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right).$$ Or l’énoncé demande de montrer que $L$ est $(2;1;2)$, ce qui correspond aux coordonnées proportionnelles au résultat exact : $(2,1,2)$ correspond à $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ multiplié par 3. 4. **Droites (EL) et (DF) sont perpendiculaires** : - $E=(0,0,1)$, $L=(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, donc $\overrightarrow{EL}=(\frac{2}{3}-0, \frac{1}{3}-0, \frac{2}{3}-1) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$. - $D=(0,1,0)$, $F=(1,0,1)$, donc $\overrightarrow{DF}=(1-0,0-1,1-0) = (1, -1, 1)$. Le produit scalaire est : $$\overrightarrow{EL} \cdot \overrightarrow{DF} = \frac{2}{3}\times 1 + \frac{1}{3}\times (-1) + (-\frac{1}{3}) \times 1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0.$$ Donc elles sont perpendiculaires. 5. a) **Vecteur $n=(2;1;1)$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{IK}$ et $\overrightarrow{JI}$** - Trouver $I$ (non donné explicitement), supposons $I$ point donné par $(1,1,0)$ (pour vérifier), sinon l’énoncé probablement le définit. Plan (IJK) : L’équation cartésienne est $4x + 2y + 2z - 5=0$ donnée. 5. b) **Équation cartésienne du plan (IJK)** Le vecteur normal $\overrightarrow{n} = (4, 2, 2)$ orthogonal au plan. 6. **Étude de la position relative de (\Delta) et du plan (IJK)** est à réaliser selon données supplémentaires (pas toutes présentes ici). 7. **Distance de L à la droite (\Delta)** se calcule via formule de distance point-droite avec vecteur directeur de (\Delta). 8. **Points M tels que $\overrightarrow{MD} + 2 \overrightarrow{MF} \perp \overrightarrow{n}$ - équation vectorielle positionnant M**. 9. **Calcul du volume V de la poubelle** : Volume cube $= 1^3 = 1$, Volume pyramide régulière = $\frac{1}{3} \times \text{aire base} \times \text{hauteur}$. Base est carré $EFGH$ de côté 1, aire base = 1. Hauteur $= OS = (\sqrt{3} - 1) \sqrt{E}$ (valeur numérique dépend de la mesure donnée, à préciser). Donc $V_{poubelle} = 1 + \frac{1}{3} \times 1 \times OS = 1 + \frac{OS}{3}.$ **Réponse finale**: - $J=(1, 0.5, 0)$ - $K=(1, 0, 0.5)$ - $L=(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ - Droites (EL) et (DF) sont perpendiculaires. - Équation plan (IJK) : $4x + 2y + 2z - 5=0$. - Volume de la poubelle : $1 + \frac{OS}{3}$ (à calculer suivant $OS$).