1. **Énoncé du problème :** Justifier que le triangle ABC est isocèle en A. 2. **Données :** Les points ont pour affixes : $$A = -\sqrt{2},\quad B = 1 + i,\quad C = 1 - i,\quad D = 3 + i,\quad I = 1.$$ 3. **Rappel :** Un triangle est isocèle en un sommet si les deux côtés adjacents à ce sommet ont la même longueur. 4. **Calcul des longueurs :** $$AB = |B - A| = |(1 + i) - (-\sqrt{2})| = |1 + i + \sqrt{2}| = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + 1}.$$ Calculons : $$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}.$$ Donc : $$AB = \sqrt{3 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}.$$ 5. Calcul de $AC$ : $$AC = |C - A| = |(1 - i) - (-\sqrt{2})| = |1 - i + \sqrt{2}| = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}.$$ 6. **Conclusion :** On a $AB = AC$, donc le triangle ABC est isocèle en A. --- 7. **Problème 2a :** Justifier que $S(D) = D$ et $S(B) = C$ avec $S$ définie par $$z' = (1 + i)z + 1 - 3i.$$ 8. Calcul de $S(D)$ : $$S(D) = (1 + i)(3 + i) + 1 - 3i.$$ Calculons $(1 + i)(3 + i)$ : $$= 3 + i + 3i + i^2 = 3 + 4i - 1 = 2 + 4i.$$ Donc : $$S(D) = 2 + 4i + 1 - 3i = 3 + i = D.$$ 9. Calcul de $S(B)$ : $$S(B) = (1 + i)(1 + i) + 1 - 3i = (1 + i)^2 + 1 - 3i.$$ Calculons $(1 + i)^2$ : $$= 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i.$$ Donc : $$S(B) = 2i + 1 - 3i = 1 - i = C.$$ 10. **Conclusion :** $S(D) = D$ et $S(B) = C$. --- 11. **Problème 2b :** Déterminer les éléments caractéristiques de $S$. 12. $S$ est une similitude directe de la forme $$z' = az + b$$ avec $$a = 1 + i, \quad b = 1 - 3i.$$ 13. Le module de $a$ est $$|a| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$$ L'argument de $a$ est $$\arg(a) = \frac{\pi}{4}.$$ 14. **Conclusion :** $S$ est une similitude directe de centre $\omega$ solution de $$\omega = a\omega + b \Rightarrow \omega(1 - a) = b \Rightarrow \omega = \frac{b}{1 - a}.$$ Calculons $1 - a = 1 - (1 + i) = -i$ donc $$\omega = \frac{1 - 3i}{-i} = \frac{1 - 3i}{-i} \times \frac{i}{i} = \frac{i - 3i^2}{-i^2} = \frac{i + 3}{1} = 3 + i.$$ 15. Le centre est $\omega = 3 + i$, le rapport est $k = |a| = \sqrt{2}$, et l'angle de rotation est $\theta = \frac{\pi}{4}$. --- 16. **Problème 2c :** Déterminer l'image $C'$ du cercle $C$ de diamètre $[BD]$ par $S$. 17. Le cercle $C$ a pour diamètre $[BD]$ avec $$B = 1 + i, \quad D = 3 + i.$$ Le centre du cercle est $$O = \frac{B + D}{2} = \frac{(1 + i) + (3 + i)}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i.$$ Le rayon est $$r = \frac{|D - B|}{2} = \frac{|(3 + i) - (1 + i)|}{2} = \frac{|2|}{2} = 1.$$ 18. Sous l'action de $S$, un cercle est transformé en un cercle de centre $$O' = S(O) = aO + b = (1 + i)(2 + i) + 1 - 3i.$$ Calculons $$(1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i.$$ Donc $$O' = 1 + 3i + 1 - 3i = 2 + 0i = 2.$$ 19. Le rayon est multiplié par le module de $a$ : $$r' = k r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}.$$ 20. **Conclusion :** L'image $C'$ est un cercle de centre $2$ et de rayon $\sqrt{2}$. **Réponses finales :** - Le triangle ABC est isocèle en A. - $S(D) = D$ et $S(B) = C$. - $S$ est une similitude directe de centre $3 + i$, rapport $\sqrt{2}$, angle $\frac{\pi}{4}$. - L'image du cercle $C$ est un cercle de centre $2$ et de rayon $\sqrt{2}$.