1. Énoncé du problème : Nous avons un plan complexe avec un repère orthonormé direct (O, \vec{u}, \vec{v}). Les points A, B, C ont pour affixes respectives $z_A = i$, $z_B = -4 - 2i$, $z_C = -2 - 3i$. Le point I est le milieu du segment [AC]. 2. Calcul de l'affixe de I : La formule du milieu est $$z_I = \frac{z_A + z_C}{2}$$ Donc $$z_I = \frac{i + (-2 - 3i)}{2} = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$$ 3. Représentation des points : - $A(0,1)$ car $z_A = 0 + 1i$ - $B(-4,-2)$ car $z_B = -4 - 2i$ - $C(-2,-3)$ car $z_C = -2 - 3i$ - $I(-1,-1)$ car $z_I = -1 - i$ 4. Montrer que le triangle ABC est rectangle : On calcule les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $$\overrightarrow{AB} = z_B - z_A = (-4 - 2i) - i = -4 - 3i$$ $$\overrightarrow{BC} = z_C - z_B = (-2 - 3i) - (-4 - 2i) = 2 - i$$ Le produit scalaire dans le plan complexe est donné par la partie réelle de $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}^*$ où $^*$ est le conjugué complexe. Calculons : $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}^* = (-4 - 3i)(2 + i) = -8 -4i -6i -3i^2 = -8 -10i + 3 = -5 - 10i$$ La partie réelle est $-5$, donc le produit scalaire n'est pas nul. Vérifions avec un autre couple de vecteurs. Calculons $\overrightarrow{AC} = z_C - z_A = (-2 - 3i) - i = -2 - 4i$ Produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \text{Re}((-4 - 3i)(-2 + 4i))$ Calcul : $$(-4)(-2) + (-4)(4i) + (-3i)(-2) + (-3i)(4i) = 8 -16i + 6i -12i^2 = 8 -10i + 12 = 20 - 10i$$ Partie réelle = 20, pas nul. Essayons $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC} = \text{Re}((2 - i)(-2 + 4i))$$ Calcul : $$2 \times -2 + 2 \times 4i - i \times -2 - i \times 4i = -4 + 8i + 2i - 4i^2 = -4 + 10i + 4 = 0 + 10i$$ Partie réelle = 0, donc $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux. Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en B. 5. Construction des points D et E tels que les triangles BAD et BEC soient rectangles isocèles en B : - Pour un triangle rectangle isocèle en B, les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux et de même norme. - De même pour $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BC}$. 6. Calcul de $z_D$ : Le vecteur $\overrightarrow{BA} = z_A - z_B = i - (-4 - 2i) = 4 + 3i$ Pour obtenir $\overrightarrow{BD}$ orthogonal et de même norme, on multiplie $\overrightarrow{BA}$ par $i$ (rotation de 90° dans le sens direct) : $$\overrightarrow{BD} = i \times (4 + 3i) = i \times 4 + i \times 3i = 4i + 3i^2 = 4i - 3 = -3 + 4i$$ Donc $$z_D = z_B + \overrightarrow{BD} = (-4 - 2i) + (-3 + 4i) = -7 + 2i$$ 7. Calcul de $z_E$ : Le vecteur $\overrightarrow{BC} = z_C - z_B = (-2 - 3i) - (-4 - 2i) = 2 - i$ Rotation de 90° directe : $$\overrightarrow{BE} = i \times (2 - i) = 2i - i^2 = 2i + 1 = 1 + 2i$$ Donc $$z_E = z_B + \overrightarrow{BE} = (-4 - 2i) + (1 + 2i) = -3 + 0i = -3$$ Réponses finales : - $z_I = -1 - i$ - Le triangle ABC est rectangle en B. - $z_D = -7 + 2i$ - $z_E = -3$