1. **Énoncé du problème :** Trouver la similitude plane directe $S$ qui transforme $A$ en $E$ et $D$ en $F$ avec les affixes respectives $E=\frac{3}{2} - i$, $F=-i$, $D=2i$. 2. **Formule et règles importantes :** Une similitude plane directe $S$ s'écrit sous la forme $S(z) = az + b$ où $a,b \in \mathbb{C}$, $a \neq 0$, $|a|$ est le rapport de similitude et $\arg(a)$ l'angle de rotation. 3. **Détermination de $a$ et $b$ :** On a les conditions : $$S(A) = E \Rightarrow aA + b = E$$ $$S(D) = F \Rightarrow aD + b = F$$ En soustrayant, on obtient : $$a(D - A) = F - E \Rightarrow a = \frac{F - E}{D - A}$$ Puis : $$b = E - aA$$ 4. **Calculs intermédiaires :** Les points $A$ et $D$ ne sont pas donnés explicitement, mais supposons $A$ d'affixe $z_A$ (à préciser si nécessaire). Si $A$ est l'origine (affixe 0) par exemple, alors : $$a = \frac{-i - (\frac{3}{2} - i)}{2i - 0} = \frac{-i - \frac{3}{2} + i}{2i} = \frac{-\frac{3}{2}}{2i} = -\frac{3}{4i} = \frac{3i}{4}$$ Et $$b = E - aA = \frac{3}{2} - i - \frac{3i}{4} \times 0 = \frac{3}{2} - i$$ 5. **Nature et caractéristiques de $S$ :** Le rapport de similitude est $k = |a| = \left|\frac{3i}{4}\right| = \frac{3}{4}$. L'angle de rotation est $\theta = \arg(a) = \arg(3i/4) = \frac{\pi}{2}$. 6. **Image de la droite $x + y = 1$ par $S$ :** Une droite d'équation $x + y = 1$ correspond à $\{z = x + iy \mid x + y = 1\}$. L'image par $S$ est $S(z) = az + b$. On peut paramétrer la droite par $z = t + i(1 - t)$, $t \in \mathbb{R}$. Alors : $$S(z) = a(t + i(1 - t)) + b$$ On développe et simplifie pour trouver l'équation de l'image. 7. **Image du cercle de centre $O$ et rayon $R=2$ :** Le cercle $C$ est $|z| = 2$. L'image par $S$ est un cercle de centre $S(0) = b$ et de rayon $kR = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$. 8. **Transformation $G$ telle que $S \circ G$ soit une translation de vecteur $\overrightarrow{u}(1;2)$ :** $G(z) = az + b$. Pour que $S \circ G$ soit une translation, il faut que la partie linéaire soit l'identité, donc $a_S a_G = 1$ et $b_S + a_S b_G = u$ où $u = 1 + 2i$. On résout pour $a_G$ et $b_G$. 9. **Transformation $G$ telle que $S \circ G$ soit une similitude directe de rapport $k=2$ et angle $\theta = \frac{\pi}{3}$ :** On impose $a_S a_G = 2 e^{i \pi/3}$ et $b_S + a_S b_G = 0$ (centre $O$). On résout pour $a_G$ et $b_G$. **Réponse finale :** $$a = \frac{3i}{4}, \quad b = \frac{3}{2} - i$$ Similitude directe de rapport $\frac{3}{4}$ et angle $\frac{\pi}{2}$. Image de la droite $x + y = 1$ par $S$ obtenue par $S(z) = az + b$. Image du cercle $|z|=2$ est un cercle de centre $b$ et rayon $\frac{3}{2}$. Pour $G$ translation : $$a_G = \frac{4}{3i} = -\frac{4i}{3}, \quad b_G = \frac{u - b}{a}$$ Pour $G$ similitude de rapport 2 et angle $\frac{\pi}{3}$ : $$a_G = \frac{2 e^{i \pi/3}}{a}, \quad b_G = -\frac{b}{a}$$