1. **Énoncé du problème :** On considère un rectangle OABE dans un plan orienté avec $OA=2$ et l'angle entre $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ est $\frac{\pi}{3}$. Le cercle $(C)$ a pour diamètre $[OB]$ et centre $W$. La similitude plane directe $S$ a pour centre $O$, rapport $3$ et angle $\frac{\pi}{3}$. **Partie A** 1) Soit $A'$ sur la demi-droite $[OB)$ tel que $OA' = 2\sqrt{3}$. Montrer que $A'$ est l'image de $A$ par $S$. - $S$ est une similitude directe de centre $O$, rapport $3$ et angle $\frac{\pi}{3}$. - $OA = 2$, donc $S$ multiplie les distances par $3$, donc $OA$ devient $3 \times 2 = 6$. - Mais $A'$ est sur $[OB)$, donc on doit vérifier que $OA' = 2\sqrt{3}$ correspond à l'image de $A$ par $S$. - En coordonnées complexes, $z_A = 2$, $z_B = 2 e^{i \pi/3}$. - L'image de $z_A$ par $S$ est $z_{A'} = 3 e^{i \pi/3} \times z_A = 3 e^{i \pi/3} \times 2 = 6 e^{i \pi/3}$. - La norme de $z_{A'}$ est $6$, ce qui ne correspond pas à $2\sqrt{3} \approx 3.464$. - Cependant, $A'$ est sur $[OB)$, donc $A'$ est un point sur la demi-droite $OB$ à distance $2\sqrt{3}$ de $O$. - Or $S$ applique $A$ en $6 e^{i \pi/3}$, donc $A'$ n'est pas l'image directe de $A$ par $S$ si on considère la norme. - Il faut vérifier l'énoncé : il semble que $OA' = 2\sqrt{3}$, or $S$ multiplie par $3$, donc $OA' = 3 \times OA = 6$. - Donc $A'$ est bien l'image de $A$ par $S$ si $OA' = 6$, pas $2\sqrt{3}$. - Peut-être une erreur dans l'énoncé ou une autre interprétation. 2) a) Vérifier que le triangle $OAW$ est équilatéral. - $W$ est le centre du cercle de diamètre $[OB]$, donc $W$ est le milieu de $OB$. - $OB$ a pour longueur $|OB| = 2$ (car $OA=2$ et angle $\pi/3$), calculons $|OB|$ : $$|OB| = |2 e^{i \pi/3}| = 2$$ - Donc $W$ a pour affixe $z_W = \frac{z_O + z_B}{2} = \frac{0 + 2 e^{i \pi/3}}{2} = e^{i \pi/3}$. - $z_A = 2$, $z_O=0$, $z_W = e^{i \pi/3}$. - Calculons les distances : $$OA = |2 - 0| = 2$$ $$AW = |2 - e^{i \pi/3}|$$ $$OW = |e^{i \pi/3} - 0| = 1$$ - Calculons $AW$ : $$AW = |2 - e^{i \pi/3}| = \sqrt{(2 - \cos \frac{\pi}{3})^2 + (0 - \sin \frac{\pi}{3})^2} = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + ( - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$$ - Les côtés sont donc $OA=2$, $OW=1$, $AW=\sqrt{3}$, donc le triangle n'est pas équilatéral. - Il y a une incohérence, peut-être $OA=2$ et $OB=2$ avec angle $\pi/3$. - Si $OB=2$, alors $W$ milieu de $OB$ a $|OW|=1$. - Le triangle $OAW$ a pour sommets $O(0)$, $A(2)$, $W(e^{i \pi/3})$. - Calculons les distances : $$OW = 1$$ $$OA = 2$$ $$AW = |2 - e^{i \pi/3}| = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (0 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$$ - Les longueurs sont $1$, $2$, $\sqrt{3}$, donc pas équilatéral. - Peut-être que $OA=OB=2$ et angle $\pi/3$ implique que $OAW$ est équilatéral par une autre propriété. b) Déterminer l'image par $S$ du triangle $OAW$. - $S$ est une similitude directe de centre $O$, rapport $3$, angle $\frac{\pi}{3}$. - L'image de $O$ est $O$. - L'image de $A$ est $A' = 3 e^{i \pi/3} \times z_A = 3 e^{i \pi/3} \times 2 = 6 e^{i \pi/3}$. - L'image de $W$ est $W' = 3 e^{i \pi/3} \times z_W = 3 e^{i \pi/3} \times e^{i \pi/3} = 3 e^{i 2\pi/3}$. c) Construire le cercle $(C')$, image de $(C)$ par $S$. - $(C)$ a pour centre $W$ et diamètre $OB$. - $(C')$ est l'image de $(C)$ par $S$, donc centre $W'$, rayon multiplié par $3$. - Rayon de $(C)$ est $\frac{|OB|}{2} = 1$. - Rayon de $(C')$ est $3 \times 1 = 3$. **Partie B** 1) Écrire la forme complexe de $S$. - $S$ est une similitude directe de centre $O$, rapport $3$, angle $\frac{\pi}{3}$. - Donc $S(z) = 3 e^{i \pi/3} z$. 2) Trouver l'affixe de $W$ et celle de $W' = S(W)$. - $z_B = 2 e^{i \pi/3}$. - $W$ milieu de $OB$ donc $z_W = \frac{0 + 2 e^{i \pi/3}}{2} = e^{i \pi/3}$. - $W' = S(W) = 3 e^{i \pi/3} \times e^{i \pi/3} = 3 e^{i 2\pi/3}$. 3) Soit $f$ la transformation plane $f(z) = i z + 4 + 2i 3$ (corrigé en $f(z) = i z + 4 + 6i$). a) Montrer que $f$ est une rotation, déterminer centre $H$ et angle. - $f(z) = i z + (4 + 6i)$. - $f$ est une rotation si $|i|=1$ (ce qui est vrai) et translation. - Centre $H$ vérifie $f(H) = H$ donc: $$i H + 4 + 6i = H \Rightarrow (i - 1) H = -4 - 6i$$ - Calculons $H$: $$H = \frac{-4 - 6i}{i - 1}$$ - Multiplions numérateur et dénominateur par $-i - 1$ (conjugué de $i - 1$): $$H = \frac{(-4 - 6i)(-i - 1)}{(i - 1)(-i - 1)} = \frac{(-4)(-i - 1) - 6i(-i - 1)}{1 + 1} = \frac{4i + 4 + 6i^2 + 6i}{2}$$ - Sachant que $i^2 = -1$: $$= \frac{4i + 4 - 6 + 6i}{2} = \frac{(4i + 6i) + (4 - 6)}{2} = \frac{10i - 2}{2} = 5i - 1$$ - Donc $H = -1 + 5i$. - L'angle de rotation est l'argument de $i$, soit $\frac{\pi}{2}$. b) Vérifier que $f(W) = W'$ et déterminer $f \circ S(W)$. - $z_W = e^{i \pi/3} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Calculons $f(W)$: $$f(W) = i z_W + 4 + 6i = i \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 4 + 6i = i \times \frac{1}{2} + i^2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 + 6i = \frac{i}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 + 6i$$ - Regroupons parties réelles et imaginaires: $$= (4 - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \left( \frac{1}{2} + 6 \right) i = \left(4 - 0.866\right) + 6.5 i = 3.134 + 6.5 i$$ - $W' = 3 e^{i 2\pi/3} = 3 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 3 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -1.5 + 2.598 i$ - $f(W) \neq W'$, donc $f(W) \neq W'$. - Il y a une incohérence, peut-être une erreur dans l'énoncé ou dans la transcription de $f$. c) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f \circ S$. - $S(z) = 3 e^{i \pi/3} z$. - $f(z) = i z + 4 + 6i$. - Donc: $$f \circ S (z) = f(S(z)) = i (3 e^{i \pi/3} z) + 4 + 6i = 3 i e^{i \pi/3} z + 4 + 6i$$ - $3 i e^{i \pi/3} = 3 e^{i (\pi/3 + \pi/2)} = 3 e^{i 5\pi/6}$. - $f \circ S$ est une similitude directe de centre à déterminer et angle $\frac{5\pi}{6}$. - Le centre $K$ vérifie: $$f \circ S (K) = K \Rightarrow 3 e^{i 5\pi/6} K + 4 + 6i = K \Rightarrow (3 e^{i 5\pi/6} - 1) K = -4 - 6i$$ - $K = \frac{-4 - 6i}{3 e^{i 5\pi/6} - 1}$. **Réponses finales :** - $S(z) = 3 e^{i \pi/3} z$. - $z_W = e^{i \pi/3}$, $W' = 3 e^{i 2\pi/3}$. - $f$ est une rotation de centre $H = -1 + 5i$ et angle $\frac{\pi}{2}$. - $f \circ S$ est une similitude directe de centre $K = \frac{-4 - 6i}{3 e^{i 5\pi/6} - 1}$ et angle $\frac{5\pi}{6}$.