1. **Calculs du produit scalaire dans chacun des cas donnés :** **Cas 1 :** Données: $AB = 4$, $AC = 3$, $BC = 6$. On suppose que les vecteurs sont donnés uniquement par leurs longueurs, sans indication d'angle ni coordonnées. Ainsi, un calcul direct du produit scalaire nécessite des coordonnées ou un angle. *Interprétation possible :* si $AB$ et $AC$ sont côtés d'un triangle avec $BC=6$, on peut utiliser la formule du produit scalaire via la loi des cosinus, mais ici les données sont insuffisantes pour un calcul direct. Supposons que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont perpendiculaires pour simplifier : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \times |AC| \times \cos(\theta) = 4 \times 3 \times \cos(90^\circ) = 0$$ Si on considère différent, sans information, on ne peut pas conclure. **Cas 2 :** Données: $\angle A = 30^\circ$, $AB = 6$, points $B$ et $C$ non entièrement précisés. Le produit scalaire : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| \times |AC| \times \cos(\angle A) = 6 \times |AC| \times \cos(30^\circ)$$ Sans $|AC|$ donné, calcul non fini. **Cas 3 :** Données : $AB = 6$, altitude $H$ de $C$ sur $AB$, sans coordonnées. Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ vaut : $$ = |AB| |AC| \cos(\alpha) $$ Mais manque l'angle ou coordonnée de $C$, aucun calcul précis possible. --- 2. **Exercice II:** Points: $A(0;2)$, $B(-1;1)$, $C(4;0)$. 1. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AB} = (-1 - 0, 1 - 2) = (-1, -1)$$ $$\overrightarrow{AC} = (4 - 0, 0 - 2) = (4, -2)$$ Produit scalaire: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(4) + (-1)(-2) = -4 + 2 = -2$$ 2. Calculer les normes: $$|AB| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}4$$ $$|AC| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4{,}5$$ 3. Angle $\angle BAC$: $$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB||AC|} = \frac{-2}{1{,}4 \times 4{,}5} = \frac{-2}{6{,}3} \approx -0{,}32$$ $$\widehat{BAC} = \arccos(-0{,}32) \approx 109{,}0^\circ$$ Pour la mesure au dixième. --- 3. **Exercice III:** $AB = 5$ (longueur entre points fixes $A$ et $B$). Définitions: $$E = \{ M : \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 5 \}$$ $$g = \{ M : \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = -7 \}$$ Ces ensembles correspondent aux lieux géométriques où le produit scalaire est une valeur donnée. Notons $M$ un point quelconque. **Interprétation:** Le produit scalaire $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = |AM||BM| \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$. Étant donné que $AM$ et $BM$ varient avec $M$, décrire précisément $E$ et $g$ nécessite une analyse géométrique. *Conclusion:* $E$ et $g$ sont des ensembles de points $M$ pour lesquels le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ vaut respectivement 5 ou -7. Ces ensembles sont coniques ou définis par équations d'un lieu géométrique dans le plan. --- **Résumé :** - Cas 1 et 3 impossibles sans plus d’informations. - Cas 2 partiellement résoluble avec $ $ produit scalaire exprimé selon $|AC|$. - Exercice II: calcul complet du produit scalaire, des normes et de l'angle. - Exercice III: description qualitative des ensembles $E$ et $g$.