1. Planteamiento del problema: Vamos a calcular el área superficial y el volumen de un cuerpo compuesto formado por un cilindro con un cono encima. 2. Fórmulas básicas: - Área superficial del cilindro: $$A_c = 2\pi r h + 2\pi r^2$$ donde $r$ es el radio y $h$ la altura del cilindro. - Volumen del cilindro: $$V_c = \pi r^2 h$$ - Área superficial del cono (sin base): $$A_{co} = \pi r l$$ donde $l$ es la generatriz del cono. - Volumen del cono: $$V_{co} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{co}$$ donde $h_{co}$ es la altura del cono. 3. Importante: Para el área total del cuerpo compuesto, sumamos el área lateral del cilindro y el área lateral del cono, y sumamos la base del cilindro (ya que la base del cono está sobre el cilindro y no se cuenta dos veces). 4. Ejemplo: - Radio $r = 3$ - Altura del cilindro $h = 5$ - Altura del cono $h_{co} = 4$ 5. Calcular la generatriz del cono usando el teorema de Pitágoras: $$l = \sqrt{r^2 + h_{co}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 6. Área superficial: - Área lateral del cilindro: $$2\pi r h = 2 \pi \times 3 \times 5 = 30\pi$$ - Área base del cilindro: $$\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$$ - Área lateral del cono: $$\pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$$ - Área total: $$30\pi + 9\pi + 15\pi = 54\pi$$ 7. Volumen total: - Volumen cilindro: $$\pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi$$ - Volumen cono: $$\frac{1}{3} \pi r^2 h_{co} = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$$ - Volumen total: $$45\pi + 12\pi = 57\pi$$ 8. Resultado final: - Área superficial total: $$54\pi \approx 169.65$$ unidades cuadradas. - Volumen total: $$57\pi \approx 179.07$$ unidades cúbicas. Este ejemplo muestra cómo descomponer un cuerpo compuesto en figuras simples, aplicar fórmulas conocidas y sumar resultados para obtener área y volumen totales.