1. **Problemstellung:** Wir haben monatliche Raten von 100, die zu Beginn jedes Monats auf ein Sparkonto mit 3 % Jahreszins eingezahlt werden. Die Zinsen werden nur für die Zeit berechnet, die das Geld auf dem Konto liegt. 2. **Formel für Zinsen bei Ratenzahlung:** Die Zinsen für eine einzelne Rate berechnen sich nach der Formel: $$Zinsen = Rate \times Zinssatz \times \frac{Anlagezeit}{12}$$ Dabei ist der Zinssatz 3 % = 0,03 und die Anlagezeit in Monaten. 3. **Berechnung der Zinsen für jede Rate:** - Januar: $$100 \times 0{,}03 \times \frac{12}{12} = 3$$ - Februar: $$100 \times 0{,}03 \times \frac{11}{12} = 2{,}75$$ - März: $$100 \times 0{,}03 \times \frac{10}{12} = 2{,}50$$ - ... - November: $$100 \times 0{,}03 \times \frac{2}{12} = 0{,}50$$ - Dezember: $$100 \times 0{,}03 \times \frac{1}{12} = 0{,}25$$ 4. **Gesamte Zinsen im Jahr (b):** Summe der Zinsen aller 12 Raten: $$\sum_{k=1}^{12} 100 \times 0{,}03 \times \frac{13-k}{12} = 100 \times 0{,}03 \times \frac{1}{12} \sum_{k=1}^{12} (13-k)$$ Die Summe der Monate: $$\sum_{k=1}^{12} (13-k) = 12 + 11 + ... + 1 = \frac{12 \times 13}{2} = 78$$ Also: $$Zinsen_{gesamt} = 100 \times 0{,}03 \times \frac{78}{12} = 100 \times 0{,}03 \times 6{,}5 = 19{,}5$$ 5. **Vergleich mit Einmalanlage zu Jahresbeginn:** Gesamteinzahlung: $$12 \times 100 = 1200$$ Zinsen bei Einmalanlage: $$1200 \times 0{,}03 = 36$$ 6. **Kapital zu Jahresbeginn für gleiche Zinsen (c):** Gesuchte Kapital $$K$$ mit Zinsen $$19{,}5$$: $$K \times 0{,}03 = 19{,}5 \Rightarrow K = \frac{19{,}5}{0{,}03} = 650$$ 7. **Tabellenprogramm und Beobachtungen (d):** Für monatliche Raten $$r$$ gilt: $$Zinsen_{gesamt} = r \times 0{,}03 \times \frac{78}{12} = r \times 0{,}195$$ Berechnung für verschiedene Raten: - 10 €: $$10 \times 0{,}195 = 1{,}95$$ - 1000 €: $$1000 \times 0{,}195 = 195$$ - 10000 €: $$10000 \times 0{,}195 = 1950$$ - 100000 €: $$100000 \times 0{,}195 = 19500$$ **Beobachtung:** Die Zinsen sind proportional zur monatlichen Rate. Die Formel zeigt, dass die Zinsen bei Ratenzahlung immer geringer sind als bei Einmalanlage, da das Geld nicht das ganze Jahr liegt.