1. **Planteamiento del problema:** Calcular el valor presente de los ingresos futuros proyectados durante 18 meses con una tasa de interés mensual de 3% (i = 0.03) usando factores financieros. 2. **Datos:** - Mes 1: ingreso S/. 400 - Meses 2 a 10: ingresos incrementales de S/. 100 mensuales a partir del segundo mes (es decir, mes 2 es 500, mes 3 es 600, ..., mes 10 es 1400) - Meses 11 a 15: ingreso uniforme de S/. 500 - Meses 16 a 18: ingresos de S/. 600, 800 y 1000 respectivamente - Tasa de interés mensual i = 0.03 - N = 18 meses 3. **Calcular el valor presente (VP) de cada tramo usando valores descontados:** - Para un ingreso único en el mes $k$, el valor presente es: $$VP_k = \frac{Ingreso_k}{(1+i)^k}$$ - Para una serie con incremento aritmético desde el mes 2 al 10, usar fórmula de valor presente de renta con incremento: $$VP = A \cdot PVAF_{n,i} + d \cdot PVAF_{incremento}$$ Donde: $A$ = primer pago de la serie (mes 2), $d$ = incremento mensual, $n$ = número de pagos, $i$ = tasa mensual 4. **Cálculo paso a paso:** **Parte 1: Mes 1** $$VP_1 = \frac{400}{(1+0.03)^1} = \frac{400}{1.03} = 388.35$$ **Parte 2: Meses 2 a 10 (de 9 meses)** Primer pago $A=500$ (mes 2) y aumento $d=100$ cada mes, $n=9$, pero para los factores, el primer pago es en el mes 2, entonces descontamos desde el mes 2. - Factor de valor presente de anualidad ordinaria (mes 2 a mes 10): $$PVAF_{n,i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1-(1.03)^{-9}}{0.03} = \frac{1-0.7938}{0.03} = 6.873$$ - Factor para incremento: $$PVAF_{incremento} = \frac{(1+i)^{-n}-(1+i)^{-1}}{i^2} = \frac{0.7938 - 0.9709}{0.0009} = \frac{-0.1771}{0.0009} = -196.80$$ Entonces con fórmula para renta creciente: $$VP = A \times PVAF_{n,i} + d \times PVAF_{incremento} = 500 \times 6.873 + 100 \times (-196.80) = 3436.5 - 19680 = -16243.5$$ Este resultado negativo muestra que hay que corregir que la fórmula usada no corresponde porque el primer pago es en el mes 2 y aumento comienza ahí; mejor calcular cada pago individualmente: $$VP = \sum_{k=2}^{10} \frac{400 + 100 (k-1)}{(1.03)^k}$$ Cada ingreso es: mes 2: 500, mes 3: 600,... mes 10: 1300 Calculemos cada término: $$VP_2 = \frac{500}{1.03^2} = \frac{500}{1.0609} = 471.22$$ $$VP_3 = \frac{600}{1.03^3} = \frac{600}{1.0927} = 549.09$$ $$VP_4 = \frac{700}{1.03^4} = \frac{700}{1.1255} = 621.59$$ $$VP_5 = \frac{800}{1.03^5} = \frac{800}{1.1593} = 689.83$$ $$VP_6 = \frac{900}{1.03^6} = \frac{900}{1.1941} = 753.88$$ $$VP_7 = \frac{1000}{1.03^7} = \frac{1000}{1.2299} = 812.74$$ $$VP_8 = \frac{1100}{1.03^8} = \frac{1100}{1.2667} = 868.55$$ $$VP_9 = \frac{1200}{1.03^9} = \frac{1200}{1.3045} = 919.84$$ $$VP_{10} = \frac{1300}{1.03^{10}} = \frac{1300}{1.3439} = 966.80$$ Sumando: $$VP_{2-10} = 471.22 + 549.09 + 621.59 + 689.83 + 753.88 + 812.74 + 868.55 + 919.84 + 966.80 = 6563.54$$ **Parte 3: Meses 11 a 15: ingreso uniforme de S/. 500 en 5 meses** Valor presente de renta uniforme: $$VP = A \times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \times \frac{1}{(1+i)^{m}}$$ Donde: $A=500$, $n=5$, $i=0.03$, $m=10$ porque la primera renta se paga en mes 11 y debemos descontar 10 meses desde mes 1. Calculamos el factor renta: $$\frac{1-(1.03)^{-5}}{0.03} = \frac{1-0.8626}{0.03} = 4.579$$ Descuento desde mes 11: $$\frac{1}{(1.03)^{10}} = \frac{1}{1.3439} = 0.7441$$ Entonces: $$VP_{11-15} = 500 \times 4.579 \times 0.7441 = 500 \times 3.407 = 1703.50$$ **Parte 4: Meses 16 a 18 con pagos individuales:** $$VP_{16} = \frac{600}{(1.03)^{16}} = \frac{600}{1.6047} = 373.64$$ $$VP_{17} = \frac{800}{(1.03)^{17}} = \frac{800}{1.6538} = 483.74$$ $$VP_{18} = \frac{1000}{(1.03)^{18}} = \frac{1000}{1.7034} = 587.39$$ Sumamos: $$VP_{16-18} = 373.64 + 483.74 + 587.39 = 1444.77$$ 5. **Valor presente total:** $$VP_{total} = VP_1 + VP_{2-10} + VP_{11-15} + VP_{16-18}$$ $$VP_{total} = 388.35 + 6563.54 + 1703.50 + 1444.77 = 10000.16$$ **Respuesta final:** El valor presente de los ingresos futuros estimados es aproximadamente **S/. 10000.16**