1. Planteamos el problema: Delna recibe un préstamo de 750861 pesos el 1/5/16 y debe pagar - 10 cuotas bimestrales consecutivas de 11755.4 pesos, la primera el 1/6/16 - 8 cuotas trimestrales consecutivas de 10335 pesos, la primera dos meses después de la décima cuota bimestral - Un último pago tres meses después de la octava cuota trimestral Se aplican intereses del 5.9% efectivo bimestral hasta el 1/11/2017 y 8.1% efectivo trimestral después. 2. Definamos las fechas y períodos: - Préstamo recibido: 1/5/16 - Primera cuota bimestral (Q1): 1/6/16, luego 9 más cada 2 meses hasta 1/6/18 - Primera cuota trimestral (T1): 2 meses después de la décima cuota bimestral La décima cuota bimestral es en 1/6/18, por lo tanto T1=1/8/18, y luego 7 más cada 3 meses hasta 1/5/20 - Último pago: 3 meses después de la octava cuota trimestral, que es en 1/5/20, por lo que es en 1/8/20 3. Interés hasta 1/11/2017 (fecha de cambio): - Desde el préstamo (1/5/16) hasta 1/11/2017: esto cubre los primeros 9 bimestres (18 meses) y algo más. - Es interés bimestral del 5.9%, tasa i=0.059 por bimestre. 4. Encontramos el valor presente (VP) de los pagos bimestrales al 1/5/16 con tasa del 5.9% bimestral: - Las 10 cuotas de 11755.4 pesos empiezan 1 mes después, pero para simplificar consideramos fechas bimestrales desde 1/6/16 cada 2 meses. - Su valor actual es $$VP_b = 11755.4 \times \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(1+0.059)^k} = 11755.4 \times \frac{1-(1+0.059)^{-10}}{0.059}$$ Calculamos: \( (1+0.059)^{10} \approx 1.774 \) \( (1+0.059)^{-10} = \frac{1}{1.774} = 0.5636 \) \(1-0.5636=0.4364\) \(VP_b=11755.4 \times \frac{0.4364}{0.059}=11755.4 \times 7.396 = 86960.3 \) 5. Valor presente de las cuotas trimestrales al momento 1/5/16, debemos descontar desde sus fechas hacia 1/5/16; pero cambió la tasa en 1/11/2017: 5.1. Fecha de inicio de las cuotas trimestrales: 1/8/18 - Desde 1/5/16 a 1/11/2017 hay 30 meses (15 bimestres) y de ahí aplica otro interés trimestral del 8.1% 5.2. Para descontar las cuotas trimestrales se hace en dos partes: - Descontar las cuotas trimestrales al 1/11/2017 usando 8.1% trimestral. - Luego descontar ese valor a 1/5/16 usando 5.9% bimestral. 6. Calculamos el valor a 1/11/2017 de las 8 cuotas trimestrales: - Cuotas trimestrales: 10335 pesos, 8 pagos cada 3 meses empezando en 1/8/18 - Las cuotas ocurren cada trimestre desde 1/8/18 hasta 1/5/20. - Tiempo desde 1/11/2017 a 1/8/18 es negativo, pero para el descuento desde 1/11/2017 hacia pagos futuros, consideramos: Cada pago $k$ se realiza a $k-1$ trimestres después del 1/8/18. Desde 1/11/2017 al 1/8/18 hay -3 meses (1 trimestre antes), por tanto el primer pago está a 1 trimestre + 1 trimestre = 2 trimestres desde el 1/11/2017. Por lo tanto, los 8 pagos trimestrales ocurren en trimestres: 2,3,4,5,6,7,8,9 desde el 1/11/2017. 6.1. Valor presente de cuotas trimestrales al 1/11/2017: $$VP_t = 10335 \times \sum_{k=2}^{9} \frac{1}{(1+0.081)^k}$$ Calculate: \( (1+0.081) = 1.081 \) Then sum \( \sum_{k=2}^9 (1.081)^{-k} = \sum_{k=0}^9 (1.081)^{-k} - 1 - (1.081)^{-1} \) \( \sum_{k=0}^9 (1.081)^{-k} = \frac{1 - (1.081)^{-10}}{1 - (1.081)^{-1}} \) \( (1.081)^{10} \approx 2.178 \Rightarrow (1.081)^{-10} = \frac{1}{2.178}=0.459 \) \( Denominator = 1 - \frac{1}{1.081} = 1 - 0.925 = 0.075 \) \( Sum = \frac{1 - 0.459}{0.075} = \frac{0.541}{0.075} = 7.213 \) Now subtract 1 and \( (1.081)^{-1} = 0.925 \): \( 7.213 - 1 - 0.925 = 5.288 \) 6.2. Therefore: $$VP_t = 10335 \times 5.288 = 54641.5$$ 7. Descontamos $VP_t$ al 1/5/16 con tasa 5.9% bimestral durante 18 meses (9 bimestres y 1 mes extra - aproximamos a 9 bimestres): $$VP_t^{inicio} = \frac{54641.5}{(1+0.059)^9}$$ \( (1.059)^9 \approx 1.660 \) \( VP_t^{inicio} = \frac{54641.5}{1.660} = 32923.8 \) 8. Total valor presente de pagos al 1/5/16 es $$VP_{total} = VP_b + VP_t^{inicio} = 86960.3 + 32923.8 = 119884.1$$ 9. El préstamo inicial fue 750861, sin embargo al descontar los pagos a valor presente vemos que vale mucho menos. Esto significa que faltan intereses para igualar el préstamo. 10. Ahora calculamos el último pago $X$ a pagar 3 meses después de la octava cuota trimestral (el 1/8/20): - Descontamos todas las cuotas y sumamos el último pago descontado a 1/5/16 con la tasa vigente final. 11. Total valor a cancelar: $$VP_b + VP_t^{inicio} + \frac{X}{(1+i)^n} = 750861$$ Donde $i$ es la tasa trimestral al 8.1%, y $n$ es el número de trimestres desde 1/5/16 al 1/8/20: Desde 1/5/16 a 1/8/20 hay 4 años y 3 meses = 51 meses = 17 trimestres 12. Descontamos el último pago hasta 1/5/16: $$\frac{X}{(1+0.081)^{17}}$$ 13. Por tanto: $$ 86960.3 + 32923.8 + \frac{X}{(1.081)^{17}} = 750861 $$ $$ \frac{X}{(1.081)^{17}} = 750861 - 86960.3 - 32923.8 = 631977 $$ $$ (1.081)^{17} \approx e^{17 \ln(1.081)}$$ \( \ln(1.081) \approx 0.0778 \) entonces \( 17 \times 0.0778 = 1.3226 \) \( e^{1.3226} = 3.752 \) 14. Así que $$ X = 631977 \times 3.752 = 2,370,104.7 $$ 15. La respuesta entera para el último pago es $$\boxed{2370105}$$