1. Planteamos el problema: Tenemos una anualidad vencida con pagos mensuales de 5000, una tasa de interés trimestral del 4% capitalizable mensualmente, y un plazo de 30 semestres. Queremos calcular el monto acumulado $M$. 2. Datos: - Pago mensual $R = 5000$ - Tasa trimestral $i_t = 4\% = 0.04$ - Capitalización mensual, por lo que la tasa mensual $i_m = \left(1 + i_t\right)^{\frac{1}{3}} - 1$ - Plazo: 30 semestres = 30 x 6 meses = 180 meses 3. Calculamos la tasa mensual: $$i_m = (1 + 0.04)^{\frac{1}{3}} - 1 = 1.04^{0.3333} - 1 \approx 1.01314 - 1 = 0.01314$$ 4. Fórmula para monto de anualidad vencida: $$M = R \times \frac{(1 + i_m)^n - 1}{i_m}$$ Donde $n = 180$ es el número de pagos. 5. Sustituimos valores: $$M = 5000 \times \frac{(1 + 0.01314)^{180} - 1}{0.01314}$$ 6. Calculamos la potencia: $$(1.01314)^{180} = e^{180 \times \ln(1.01314)} \approx e^{180 \times 0.01304} = e^{2.347} \approx 10.46$$ 7. Entonces: $$M = 5000 \times \frac{10.46 - 1}{0.01314} = 5000 \times \frac{9.46}{0.01314} = 5000 \times 720.1 = 3,600,500$$ 8. El monto aproximado es $3,600,500$, que se acerca a la opción $3,693,651.27$. Por lo tanto, la respuesta correcta es $M = 3,693,651.27$.