1. **Probleemstelling 6.1:** Michael het R10000 vir 3 jaar teen 'n onbekende jaarlikse rente persentasie $r$% maandeliks saamgestel belê. Aan die einde ontvang hy R12146,72. Bereken $r$ tot een desimale plek. 2. Die formule vir saamgestelde rente maandeliks saamgestel is: $$A = P \left(1 + \frac{r}{100 \times 12}\right)^{12t}$$ waar: - $A = 12146.72$ - $P = 10000$ - $t = 3$ jaar - $r$ is die jaarlikse rente persentasie 3. Vervang die waardes: $$12146.72 = 10000 \left(1 + \frac{r}{1200}\right)^{36}$$ 4. Deel aan albei kante deur 10000: $$1.214672 = \left(1 + \frac{r}{1200}\right)^{36}$$ 5. Neem die 36ste wortel van albei kante: $$\left(1.214672\right)^{\frac{1}{36}} = 1 + \frac{r}{1200}$$ 6. Bereken linker kant: $$1.214672^{0.0277778} \approx 1.00537$$ 7. Los vir $r$ op: $$1.00537 = 1 + \frac{r}{1200} \implies \frac{r}{1200} = 0.00537 \implies r = 0.00537 \times 1200 = 6.44\%$$ 8. Antwoord: $r \approx 6.4\%$ per jaar. 9. **Probleemstelling 6.2.1:** Genevieve neem R82000 lening op 2018-02-01 teen 15% per jaar, maandeliks saamgestel. Haar eerste betaling van R3200 is op 2019-02-01. Bereken die skuld op 2019-01-01. 10. Aanvangsbedrag $P = 82000$, rente $r = 15\%$ per jaar, maandeliks saamgestel, dus maandlikse rente $i = \frac{15}{12 \times 100} = 0.0125$. 11. Tyd from 2018-02-01 to 2019-01-01 is 11 maande. 12. Gebruik saamgestelde rente formule: $$A = P (1 + i)^n = 82000(1 + 0.0125)^{11}$$ 13. Bereken: $$(1.0125)^{11} \approx 1.1462$$ $$A = 82000 \times 1.1462 = 93998.4$$ 14. Antwoord: Op 2019-01-01 skuld sy ongeveer R93998.40. 15. **Probleemstelling 6.2.2:** Hoeveel paaiemente van R3200 moet sy betaal om die lening te vereffen? 16. Sy begin betalings op 2019-02-01, eerste maand se betaling, en betaal elke maand R3200, rente altyd 15% per jaar, maandeliks saamgestel. 17. Dit is 'n annuïteit probleem waar: - $PV = 93998.4$ (saldo op 2019-01-01) - Maandlikse betaling $PMT = 3200$ - Maandelikse rente $i = 0.0125$ - $n$ is die aantal maande om te betaal. 18. Formule vir annuïteit huidige waarde: $$PV = PMT \times \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$$ 19. Los vir $n$ op: $$\frac{PV \times i}{PMT} = 1 - (1 + i)^{-n}$$ $$1 - \frac{PV \times i}{PMT} = (1 + i)^{-n}$$ $$\ln\left(1 - \frac{PV \times i}{PMT}\right) = -n \ln(1+i)$$ $$n = -\frac{\ln\left(1 - \frac{PV \times i}{PMT}\right)}{\ln(1+i)}$$ 20. Vervang waardes: $$\frac{93998.4 \times 0.0125}{3200} = \frac{1174.98}{3200} = 0.3672$$ $$1 - 0.3672 = 0.6328$$ $$\ln(0.6328) = -0.4574$$ $$\ln(1.0125) = 0.01242$$ 21. Bereken $n$: $$n = -\frac{-0.4574}{0.01242} = 36.83$$ 22. Sy moet 37 paaiemente betaal. 23. **Probleemstelling 6.3.1:** Pat deponeer R2000 aan die begin van die maand en R2000 aan die einde van dieselfde maand, volgende vyf jaar maak hy elke maand aan die einde van die maand R2000 deposito. Rentekoers 6% per jaar, maandeliks saamgestel. 24. Maandelikse rente $i = \frac{6}{12 \times 100} = 0.005$. 25. Die begin deposito groei 60 maande en R2000 aan die einde van elke maand (vanaf einde maand 1) maak die toekomstige waarde 'n annuïteit. 26. Bereken die toekomstige waarde van: - Begin deposito: $FV_1 = P (1+i)^n = 2000(1.005)^{60}$ - Maandelikse paaiemente: $FV_2 = PMT \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$ 27. Bereken: $$(1.005)^{60} \approx 1.34885$$ $$FV_1 = 2000 \times 1.34885 = 2697.7$$ 28. Bereken $FV_2$: $$(1.005)^{60} - 1 = 0.34885$$ $$FV_2 = 2000 \times \frac{0.34885}{0.005} = 2000 \times 69.77 = 139537.4$$ 29. Totale toekomstige waarde: $$FV = FV_1 + FV_2 = 2697.7 + 139537.4 = 142235.1$$ 30. Antwoord: Die waarde aan die einde van vyf jaar is ongeveer R142235.10. 31. **Probleemstelling 6.3.2:** Pat laat die bedrag van 6.3.1 vir verdere 6 maande lê teen dieselfde rente. 32. Gebruik weer die saamgestelde rente formule vir 6 maande: $$FV = PV (1+i)^6 = 142235.1 (1.005)^6$$ 33. Bereken: $$(1.005)^6 \approx 1.0304$$ $$FV = 142235.1 \times 1.0304 = 146669.8$$ 34. Antwoord: Die waarde aan die einde van die ses maande is ongeveer R146669.80.