1. Énonçons le problème : Mathilde observe deux actions, ABC et DEF. - L'action ABC vaut initialement 1.80. - Elle augmente de 0.25 par jour. - L'action DEF vaut initialement 0.40. - Pendant 28 jours, DEF augmente du même montant que ABC, soit 0.25 par jour. - Après ces 28 jours, DEF augmente de 0.39 par jour. On cherche le temps $t$ (en jours) où les deux actions ont la même valeur, ainsi que cette valeur. 2. Modélisons les valeurs des actions : Pour ABC, la valeur après $t$ jours est : $$V_{ABC}(t) = 1.80 + 0.25t$$ Pour DEF, on a deux phases : - Pendant les 28 premiers jours : $$V_{DEF}(t) = 0.40 + 0.25t, \quad 0 \leq t \leq 28$$ - Après 28 jours, la valeur à $t=28$ est : $$V_{DEF}(28) = 0.40 + 0.25 \times 28 = 0.40 + 7 = 7.40$$ Pour $t > 28$, la valeur de DEF augmente de 0.39 par jour : $$V_{DEF}(t) = 7.40 + 0.39(t - 28)$$ 3. Trouvons $t > 28$ tel que $V_{ABC}(t) = V_{DEF}(t)$ : $$1.80 + 0.25t = 7.40 + 0.39(t - 28)$$ Développons le côté droit : $$1.80 + 0.25t = 7.40 + 0.39t - 0.39 \times 28$$ Calculons $0.39 \times 28$ : $$0.39 \times 28 = 10.92$$ Donc : $$1.80 + 0.25t = 7.40 + 0.39t - 10.92$$ Simplifions le côté droit : $$7.40 - 10.92 = -3.52$$ Donc : $$1.80 + 0.25t = -3.52 + 0.39t$$ 4. Isolons $t$ : $$1.80 + 0.25t = -3.52 + 0.39t$$ $$1.80 + 0.25t - 0.39t = -3.52$$ $$1.80 - 0.14t = -3.52$$ $$-0.14t = -3.52 - 1.80 = -5.32$$ $$t = \frac{-5.32}{-0.14} = 38$$ 5. Vérifions que $t=38$ est bien supérieur à 28, donc la solution est valide. 6. Calculons la valeur commune à $t=38$ : $$V_{ABC}(38) = 1.80 + 0.25 \times 38 = 1.80 + 9.50 = 11.30$$ $$V_{DEF}(38) = 7.40 + 0.39 \times (38 - 28) = 7.40 + 0.39 \times 10 = 7.40 + 3.90 = 11.30$$ Les deux valeurs sont égales à 11.30. Réponse finale : Les deux actions ont la même valeur au bout de **38 jours**. Cette valeur est de **11.30** (à 0.01 près).