1. Énoncé du problème : Nous avons une option call avec les paramètres suivants : \(\Delta t = 0,1\), maturité \(P = 1\), \(\Delta S = 10\), \(S\) varie de 0 à 100, valeur d'exercice \(K = 70\), volatilité \(\sigma = 0,3\), taux d'intérêt \(r = 0,05\). On définit \(S = i \times \Delta S\) et \(t = T - \Delta t\). Il faut trouver les valeurs \(V_0^3\), \(V_0^9\) et \(V_5^2\). 2. Formule utilisée : Pour une option call dans un modèle binomial, la valeur à chaque nœud est donnée par : $$V_t^i = e^{-r \Delta t} \left(p V_{t+1}^{i+1} + (1-p) V_{t+1}^i\right)$$ avec $$p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$$ Les facteurs de montée et descente sont : $$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$$ La valeur à maturité est : $$V_T^i = \max(S_i - K, 0)$$ 3. Calcul des paramètres : - \(\Delta t = 0,1\) - \(u = e^{0,3 \sqrt{0,1}} = e^{0,3 \times 0,3162} = e^{0,09486} \approx 1,0996\) - \(d = e^{-0,09486} \approx 0,9095\) - \(p = \frac{e^{0,05 \times 0,1} - 0,9095}{1,0996 - 0,9095} = \frac{e^{0,005} - 0,9095}{0,1901} = \frac{1,005 - 0,9095}{0,1901} = \frac{0,0955}{0,1901} \approx 0,502\) - Facteur d'actualisation : \(e^{-r \Delta t} = e^{-0,05 \times 0,1} = e^{-0,005} \approx 0,9950\) 4. Valeurs à maturité (\(t = 1\)) pour \(i = 0, \ldots, 10\) (car \(S\) varie de 0 à 100 par pas de 10) : $$S_i = i \times 10$$ $$V_{1}^i = \max(S_i - 70, 0)$$ Donc : - \(V_1^0 = \max(0 - 70, 0) = 0\) - \(V_1^1 = \max(10 - 70, 0) = 0\) - \(V_1^2 = 0\) - \(V_1^3 = 0\) - \(V_1^4 = 0\) - \(V_1^5 = 0\) - \(V_1^6 = 0\) - \(V_1^7 = 0\) - \(V_1^8 = 10\) - \(V_1^9 = 20\) - \(V_1^{10} = 30\) 5. Calcul de \(V_0^i\) au temps \(t=0\) : $$V_0^i = 0,9950 \times (0,502 V_1^{i+1} + 0,498 V_1^i)$$ Calculons \(V_0^3\) : $$V_0^3 = 0,9950 \times (0,502 \times V_1^4 + 0,498 \times V_1^3) = 0,9950 \times (0,502 \times 0 + 0,498 \times 0) = 0$$ Calculons \(V_0^9\) : $$V_0^9 = 0,9950 \times (0,502 \times V_1^{10} + 0,498 \times V_1^9) = 0,9950 \times (0,502 \times 30 + 0,498 \times 20)$$ $$= 0,9950 \times (15,06 + 9,96) = 0,9950 \times 25,02 = 24,89$$ 6. Calcul de \(V_5^2\) : Le temps \(t=0,5\) correspond à l'étape 5 (car \(\Delta t=0,1\)) On calcule récursivement de \(t=1\) à \(t=0,5\) (étape 5) en remontant la valeur. Pour \(V_5^2\), on utilise la même formule : $$V_5^2 = 0,9950 \times (0,502 V_6^{3} + 0,498 V_6^{2})$$ Mais sans les valeurs de \(V_6^i\) données, on ne peut pas calculer exactement. Conclusion : - \(V_0^3 = 0\) - \(V_0^9 \approx 24,89\) - \(V_5^2\) nécessite les valeurs à \(t=0,6\) pour être calculé, données non fournies.