1. Énoncé du problème : Un bon d'épargne est acheté pour 1000 𝑃 avec 5% de frais d'entrée. Le montant remboursé dans 8 ans est $C$. Le taux annuel de capitalisation est 5,25%. 2. Calcul de $C$ : Le versement net après frais d'entrée est $1000 \times (1 - 0{,}05) = 950$. Il est capitalisé à 5,25 % pendant 8 ans, donc $$C = 950 \times (1 + 0{,}0525)^8$$ Calculons $$(1 + 0{,}0525)^8 = (1{,}0525)^8 \approx 1{,}48935$$ Donc $$C \approx 950 \times 1{,}48935 = 1414{,}88$$ 3. Échéancier des dépenses et recettes en 8 ans (question 2a) : - Chaque début d'année, l'assureur paye 2 𝑭 ; sur 8 ans ça fait un flux sortant de $2F$ au début de chaque année jusqu'à la 8ème. - Le versement net initial de 950 𝑃 et le 1er coût de gestion $2F$ sont placés à 7% sans réinvestissement des intérêts. Flux en début d'année 0 : 950 (positif) - 2F (négatif) Intérêt à terme du placement au taux 7% pendant 8 ans est $$(950 - 2F) \times (1 + 0{,}07)^8$$ Les dépenses totales de gestion sont $2F \times 8 = 16F$. Résultat net pour l'assureur au bout de 8 ans : $$R = (950 - 2F)(1{,}07)^8 - 16F$$ 4. Expression du résultat au terme avec taux $i$ (question 2b) : Le placement initial est revendu à sa valeur nominale 5 ans plus tard, sans coupon ; la trésorerie excédentaire est réinvestie au taux $i$. Flux de trésorerie : - À l'année 0 : placement de 950 - 2F - À l'année 1 à 8 : gestion 2F annuelle - À l'année 5 : revente du placement initial = 950 Résultat au terme : Intérêts cumulés des flux réinvestis à $i$ plus revente déduite des frais. Formule résultat au terme en fonction de $i$ : $R(i) = 2F \times s_{8|i} + 950 \times (1+i)^3 - 2F \times (1+i)^3 - 2F \times 8$ Ici $s_{n|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$ est la valeur acquise d'une rente de 1 sur $n$ années à taux $i$. Simplifions la formule exacte selon les conditions données pour trouver la valeur minimale de $i$ telle que $R(i) \geq 0$. 5. Approximations successives pour trouver $i$ positif comme seuil : Tester $i = 0{,}03, 0{,}04, 0{,}05, ...$ jusqu'à ce que $R(i)$ devienne positif. -- FIN --